洛谷 P2647 最大收益

我是题面

恩，贪心，鉴定完毕。

一个物品是否放进来，取决于它是否能对答案做出贡献。

那物品i的贡献就是\(w[i]-r[i]\)

可是收益的减少是会叠加的

那就是\(w[i]-j*r[i]\)，j表示选择物品i后又选择的物品数量

可是我怎么知道选择i后又会选择几件物品啊

那么我们引入一个新的值\(d[i]=w[i]/r[i]\)，表示若使物品i对答案有贡献，选择物品i后最多再选择d件物品

既然这样，我们也有点眉目了，dfs啊

很好，写的很漂亮，50。。。TLE

dfs

看来是不能再优化了

那让我们退回去，往前看“可是我怎么知道选择i后又会选择几种物品啊”

好像有一种方法可以知道还会再选几件，没错，你是不是也想到了，就是 dfs 动规

我们用\(f[i][j]\)表示在前i种物品中选择j件，可是这怎么记忆之前所说的j呢？

还记得之前说好的贪心吗，这里继续贪。

我们把物品按照r从大到小的顺序排序，\(f[i][j]\)表示i件物品选择j件且最先选择j件时的收益

这里的贪心很好证明，既然r要取多次，那么我们自然默认让更小的r选择更多的次数

下面是代码

dfs版

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#define ll long long
#define gc() getchar()
#define maxn 3005
using namespace std;

inline ll read(){
    ll a=0;int f=0;char p=gc();
    while(!isdigit(p)){f|=p=='-';p=gc();}
    while(isdigit(p)){a=(a<<3)+(a<<1)+(p^48);p=gc();}
    return f?-a:a;
}
void write(ll a){
    if(a>9)write(a/10);
    putchar(a%10+'0');
}
int n;

struct ahaha{
    int w,r,d;
    friend bool operator < (ahaha x,ahaha y){
        return x.d>y.d;
    }
}a[maxn];

bool c[maxn];    //表示物品是否被选择过
int ans;
inline int max(int x,int y){return x>y?x:y;}
inline int min(int x,int y){return x<y?x:y;}
void dfs(int sum,int sr,int sy){   //sum表示当前收益，sr表示需要累计下去的r，sy表示最多还能选择sy个数贪心就不优了
    ans=max(ans,sum);    //因为不知道选多少个数，所以ans每步比较
    if(!sy)return;    //如果不能再选 返回
    for(int i=1;i<=n;++i){
        if(c[i])continue;
        c[i]=1;
        dfs(sum+a[i].w-sr,sr+a[i].r,min(sy-1,a[i].d));   //sy应取最小值
        c[i]=0;
    }
}

inline void solve(){
    for(int i=1;i<=n;++i){
        c[i]=1;
        dfs(a[i].w,a[i].r,a[i].d);
        c[i]=0;
    }
}

int main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)a[i].w=read(),a[i].r=read(),a[i].d=a[i].w/a[i].r;
    sort(a+1,a+n+1);
    solve();
    write(ans);
    return 0;
}

DP版

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#define ll long long
#define gc() getchar()
#define maxn 3005
using namespace std;

inline ll read(){
    ll a=0;int f=0;char p=gc();
    while(!isdigit(p)){f|=p=='-';p=gc();}
    while(isdigit(p)){a=(a<<3)+(a<<1)+(p^48);p=gc();}
    return f?-a:a;
}
void write(ll a){
    if(a>9)write(a/10);
    putchar(a%10+'0');
}
int n,f[maxn][maxn],ans;

struct ahaha{
    int w,r;
    friend bool operator < (ahaha x,ahaha y){
        return x.r>y.r;
    }
}a[maxn];

int main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)a[i].w=read(),a[i].r=read();
    sort(a+1,a+n+1);
    f[1][1]=a[1].w;
    for(int i=2;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=i;++j)
            f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-1]+a[i].w-a[i].r*(j-1));    //表示选择i个物品时，选择物品i和不选物品i两种操作
    for(int i=1;i<=n;++i)ans=max(ans,f[n][i]);
    write(ans);
    return 0;
}