http://www.bfcat.com/index.php/2012/03/svd-tutorial/ SVD分解(奇异值分解),本应是本科生就掌握的方法,然而却经常被忽视.实际上,SVD分解不但很直观,而且极其有用.SVD分解提供了一种方法将一个矩阵拆分成简单的,并且有意义的几块.它的几何解释可以看做将一个空间进行旋转,尺度拉伸,再旋转三步过程. 首先来看一个对角矩阵, 几何上, 我们将一个矩阵理解为对于点 (x, y) 从一个平面到另一个平面的映射: 下图显示了这个映射的效果: 平面被横向…

对称阵A 相应的,其对应的映射也分解为三个映射.现在假设有x向量,用A将其变换到A的列空间中,那么首先由U'先对x做变换: 由于正交阵“ U的逆=U‘ ”,对于两个空间来讲,新空间下的“ 基E' 坐标 x' ,原空间E 坐标x ”有如下关系 EX=E'X' ===> X=E'X' ===> X'=(E'的逆)x ==> x向量在新的“基”下的新坐标  (E的转置)X: 1.那么对于上式UTx先可以理解为:将x用A的所有特征向量表示为: 则通过第一个变换就可以把x表示为[a1 a2 ...…

版权声明: 本文由LeftNotEasy发布于http://leftnoteasy.cnblogs.com, 本文可以被全部的转载或者部分使用,但请注明出处,如果有问题,请联系wheeleast@gmail.com 前言: 上一次写了关于PCA与LDA的文章,PCA的实现一般有两种,一种是用特征值分解去实现的,一种是用奇异值分解去实现的.在上篇文章中便是基于特征值分解的一种解释.特征值和奇异值在大部分人的印象中,往往是停留在纯粹的数学计算中.而且线性代数或者矩阵论里面,也很少讲任何跟特征值与奇异…

SVD分解 SVD分解是LSA的数学基础,本文是我的LSA学习笔记的一部分,之所以单独拿出来,是因为SVD可以说是LSA的基础,要理解LSA必须了解SVD,因此将LSA笔记的SVD一节单独作为一篇文章.本节讨论SVD分解相关数学问题,一个分为3个部分,第一部分讨论线性代数中的一些基础知识,第二部分讨论SVD矩阵分解,第三部分讨论低阶近似.本节讨论的矩阵都是实数矩阵. 基础知识 1. 矩阵的秩:矩阵的秩是矩阵中线性无关的行或列的个数 2. 对角矩阵:对角矩阵是除对角线外所有元素都为零的方阵 3.…

  首先推荐一篇博客,奇异值分解(SVD)原理详解及推导 - CSDN博客,讲解的很清楚.这里我谈谈自己的理解,方便以后回顾.   如果把向量理解为空间中的一个元素,那么矩阵可以理解为两个空间上的映射.在线性代数中我们常见的是正交变换,这种变换不会改变向量之间的夹角,可以用坐标系的平移旋转来直观理解.但是对一般的方阵,甚至对更一般的非对称矩阵,这种变化的几何含义又该怎么理解,一直都没有搞清楚.通过奇异值分解能说明这些变化 的实际含义.   首先我们来看一般的方阵\(M(n*n)\),可以找到一对…

一.SVD奇异值分解的定义 假设是一个的矩阵,如果存在一个分解: 其中为的酉矩阵,为的半正定对角矩阵,为的共轭转置矩阵,且为的酉矩阵.这样的分解称为的奇异值分解,对角线上的元素称为奇异值,称为左奇异矩阵,称为右奇异矩阵. 二.SVD奇异值分解与特征值分解的关系 特征值分解与SVD奇异值分解的目的都是提取一个矩阵最重要的特征.然而,特征值分解只适用于方阵,而SVD奇异值分解适用于任意的矩阵,不一定是方阵. 这里,和是方阵,和为单位矩阵,为的特征向量,为的特征向量.和的特征值为的奇异值的平方. 三.…

原帖地址: http://blog.sina.com.cn/s/blog_6109b5d00101ag7a.html       在摄影测量和计算机视觉中,考虑最优解问题时,经常要用到SVD分解.奇异值分解 (singular value decomposition,SVD) 是一种可靠地正交矩阵分解法,但它比QR分解法要花上近十倍的计算时间.在matlab中,[U,S,V]=svd(A),其中U和V代表二个相互正交矩阵,而S代表一对角矩阵. 和QR分解法相同者, 原矩阵A不必为正方矩阵.使用S…

投影矩阵广泛地应用在数学相关学科的各种证明中,但是由于其概念比较抽象,所以比较难理解.这篇文章主要从最小二乘法的推导导出投影矩阵,并且应用SVD分解,写出常用的几种投影矩阵的形式. 问题的提出 已知有一个这样的方程组: \[Ax=b\] 其中,\(A \in R^{m \times n},x,b \in R^n\) 当\(m=n\)时,且\(rank(A)=n\)时,这是一个适定方程组,有唯一解\(x=A^{-1}b\) 当\(m<n\)时,或者\(rank(A)<n\)时,这是一个欠定方程组…

推荐系统: 1.基于内容的实现:KNN等 2.基于协同滤波(CF)实现:SVD → pLSA(从LSA发展而来,由SVD实现).LDA.GDBT SVD算是比较老的方法,后期演进的主题模型主要是pLSA和LDA.pLSA主要基于EM最大期望算法,而LDA主要基于Gibbs抽样算法,这个在下一篇文章<主题模型>里会详细介绍. 一.推荐系统 推荐系统实现主要分为两个方面:基于内容实现和基于协同滤波实现. 1.基于内容 不同人对不同电影评分这个例子,可以看做是一个普通回归(线性回归)问题,因此每部电…

转载请注明原地址:http://www.cnblogs.com/connorzx/p/4170047.html 提出原因 基于余弦定理对文本和词汇的处理需要迭代的次数太多(具体见14章笔记),为了找到一个一步到位的办法,可以使用奇异值分解(SVD分解) 算法实现 建立一个M-by-N的矩阵A,其中行表示M篇文章,列表示N个词.aij表示第j个词在第i篇文章中出现的加权词频.将A进行奇异值分解,A=XBY,X为M-by-R矩阵,B为R阶方阵,Y为R-by-N矩阵.若R<<M,N,则存储量和计算量…