将学习到什么 就算两个矩阵有相同的特征多项式,它们也有可能不相似,那么如何判断两个矩阵是相似的?答案是它们有一样的 Jordan 标准型.   Jordan 标准型定理 这节目的:证明每个复矩阵都与一个本质上唯一的 Jordan 矩阵相似. 分三步证明这个结论.其中前两步已经在其它章节中给出, 第一步 Schur 定理 确保每个复矩阵都相似于一个上三角矩阵,这个上三角矩阵的特征值出现在其对角线上,且相等的特征值放在一起. 第二步 Schur 三角化定理推论 中定理 1.3 确保第一步中所描述的那…

从这里开始 预备知识 两个数组 Tarjan 算法的应用 求割点和割边 求点-双连通分量 求边-双连通分量 求强连通分量 预备知识 设无向图$G_{0} = (V_{0}, E_{0})$,其中$V_{0}$为定点集合,$E_{0}$为边集,设有向图$G_{1} = (V_{1}, E_{1})$,其中$V_{1}$为定点集合,$E_{1}$为边集. 无向图中的路径:如果存在一个顶点序列$v_{p},v_{i_{1}},\cdots,v_{i_{k}},v_{q}$,使得$\left ( v_{…

求$(a^n-1,a^m-1) \mod k$,自己手推,或者直接引用结论$(a^n-1,a^m-1) \equiv a^{(n,m)}-1 \mod k$ /** @Date : 2017-09-21 21:41:26 * @FileName: HDU 2685 结论 定理 推导.cpp * @Platform: Windows * @Author : Lweleth (SoungEarlf@gmail.com) * @Link : https://github.com/ * @Version…

题面 传送门 题解 我对计蒜几盒一无所知 顺便\(xzy\)巨巨好强 前置芝士 三维凸包 啥?你不会三维凸包?快去把板子写了->这里 欧拉公式 \[V-E+F=2\] \(V:vertex\)顶点,\(E:edge\)边,\(F:flat\)面,对所有维度的所有多边形(多面体)都成立 圆的反演 设反演中心为\(O\),常数为\(k\),若经过\(O\)的直线经过\(P,P'\),且\(OP\times OP'=k\),则称\(P,P'\)关于\(O\)互为反演,其中\(O\)为反演中心,\(k\…

1.基础知识 定义 定义1.1(高斯整数):$\mathbb{Z}[i]=\{a+bi\mid a,b\in Z\}$(其中$i$为虚数单位,即$i^{2}=-1$) 定义1.2(范数):$N(\alpha)=a^{2}+b^{2}$(其中$\alpha=a+bi\in \Z[i]$),显然$N(\alpha)\in N$ 定义1.3(基础运算):$+$和$\times$,运算规则与通常的约定相同($\times$可省略) 定理1.1:$N(\alpha\beta)=N(\alpha)N(\be…

2018年论文题,上接loj2506,主要是论文中的第4章,也可快速跳至原题解 5.平衡树的嵌套问题 平衡树嵌套 所谓平衡树嵌套,就是若干棵平衡树,其中若干棵平衡树的根会指向另一颗平衡树上的一个节点 定义一棵平衡树的$W$为其子树内所有节点的$w_{x}$之和,再定义$w_{x}$为上述指向其的根的平衡树的$W$之和加1 (这两者定义并不嵌套,显然可以按层去计算$w_{x}$和$W$) 如果在一个平衡树中访问节点$x$的复杂度为$o(\log\frac{W}{w_{x}})$,那么就有以下结论-…

2018年论文题,以下是论文前3章主要内容,与原题解相关部分为第4章中的启发式合并,也可快速跳至原题解 1.复杂度分析 Treap 定理1:$n$个节点的Treap的期望深度为$o(\log n)$ 证明1:假设所有元素从小到大依次为$a_{1},a_{2},...,a_{n}$(不妨假设所有元素各不相同,若有相同可以将这些元素存在同一个位置上),则对于$x$和$y$,分类讨论: 1.若$x\le y$,则$x$是$y$的祖先等价于$a_{x}<\min_{x<j\le y}a_{j}$ 2.…

目录 概 主要内容 符号说明及部分定义 可用特征 稳定可用特征 可用不稳定特征 标准(standard)训练 稳定(robust)训练 分离出稳定数据 分离出不稳定数据 随机选取 选取依赖于 比较重要的实验 1 迁移性 理论分析 定理1 定理2 定理3 Ilyas A, Santurkar S, Tsipras D, et al. Adversarial Examples Are Not Bugs, They Are Features[C]. neural information process…

文章目录 拉格朗日插值公式 微分中值定理 费马引理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 洛必达法则 连分数(NOI2021 D2T2 考点) 定义 结论 定理1 定理2 定理3 定理4 定理5 欧拉公式 正余弦的展开 虚数单位 整合 逆代 Binet-Cauchy 公式 [朝花夕拾] 柯西不等式 二维形式 向量形式 期望形式 积分形式 数论结论 缩系元素求积 因数闭合序列矩阵 拉格朗日插值公式 对于 n − 1 n-1 n−1 次多项式 f ( x ) f(x) f(x) 上的 n n n 个点 (…

题目 本题需要用到的结论: 一.兰道定理 二.如果\(n\geq4\),那么\(n\)个点的强连通竞赛图存在\(n-1\)个点的强连通子图. 证明: 现在有一个n-1个点的竞赛图(不一定强连通,称其为原图),加入n号点,得到的n个点的竞赛图是强连通的.将原图强连通分量分解,按照拓扑序排好,称为\(a_0 \cdots a_k\)(一共k个强连通分量).现在考虑证明加入n号点后的图,删掉某一个点后一定可以得到强连通图. k=1:去掉n号点即可. \(k \geq 3\):原图是长成这样的(不太准确…