分析 三倍经验题,本文以[BZOJ1478][SGU282]Isomorphism为例展开叙述,主体思路与另外两题大(wan)致(quan)相(yi)同(zhi). 这可能是博主目前写过最长也是最认真的题解了. 题目中规定"若两个已染色的图,其中一个图可以通过结点重新编号而与另一个图完全相同, 就称这两个染色方案相同",说明这个置换群是定义在点上的,而染色方案是定义在边上的.把边的染色方案转化为点的染色方案不太现实,所以说我们可以考虑如何将点的置换转化为边的置换. 一个显然的结论是点的…

[BZOJ1478]Sgu282 Isomorphism 题意:用$m$种颜色去染一张$n$个点的完全图,如果一个图可以通过节点重新标号变成另外一个图,则称这两个图是相同的.问不同的染色方案数.答案对$P$取模. $n\le 53,m\le 1000,P>n,P$是质数. 题解:对于本题来说,每个元素是所有边,每个置换是边的置换,而边的置换难以表示,点的置换容易表示,所以我们考虑点置换和边置换的关系. 如果两个点置换有着相同的结构,则它们对应的边置换的循环数相同. $$\begin{pmatri…

把连边和不连边看成黑白染色,然后就变成了 https://www.cnblogs.com/lokiii/p/10055629.html 这篇讲得好!https://blog.csdn.net/wzq_qwq/article/details/48035455 #include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; const int N=65,mod=997; int n,m=2,fac[N],ans,a[N]; int gc…

Problem A: Sgu282 Isomorphism Time Limit: 15 Sec  Memory Limit: 64 MBSubmit: 172  Solved: 88[Submit][Status][Discuss] Description 给 定一个N 个结点的无向完全图( 任意两个结点之间有一条边), 现在你可以用 M 种颜色对这个图的每条边进行染色,每条边必须染一种颜色. 若两个已染色的图,其中一个图可以通过结点重新编号而与另一个图完全相同, 就称这两个染色方案相同. 现…

题意 如果一张无向完全图(完全图就是任意两个不同的顶点之间有且仅有一条边相连)的每条边都被染成了一种颜色,我们就称这种图为有色图. 如果两张有色图有相同数量的顶点,而且经过某种顶点编号的重排,能够使得两张图对应的边的颜色是一样的,我们就称这两张有色图是同构的. 对于计算所有顶点数为 \(n\) ,颜色种类不超过 \(m\) 的图,最多有几张是两两不同构的图. 数据范围 \(n \le 53, 1 \le m \le 1000\) 题解 神仙题qwq 我们考虑对于点置换与其对应的边置换的关系: 对…

思路:由于题目中是通过改变点的编号来判断两种染色方案是否相同,而染色的确是边,于是考虑如何将点置换转化为边置换. 对于一个有n个点的完全图,其点置换有n!个(即全排列个数),又由于每一个边置换都对应了一个点置换(因为是改变点的编号才得到的边置换),因而边置换也是n!个,也就是说已经确定了Polya定理中的分母,考虑分子怎么求. 对于一个点置换,会形成一些循环,而这些循环所对应的边置换也是一个循环,同时,这些点循环之间的边也会形成一个循环,边置换中的总循环数就取决于点置换循环中对应的边置换循环和点…

一.前置概念 接下来的这些定义摘自 置换群 - OI Wiki. 1. 群 若集合 \(s\neq \varnothing\) 和 \(S\) 上的运算 \(\cdot\) 构成的代数结构 \((S,\cdot)\) 满足一下性质: 封闭性:\(\forall a,b\in S,a\cdot b\in S\). 结合律:\(\forall a,b,c\in S,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\). 单位元:\(\exists e\in S,\forall…

1478: Sgu282 Isomorphism Description 给 定一个N 个结点的无向完全图( 任意两个结点之间有一条边), 现在你可以用 M 种颜色对这个图的每条边进行染色,每条边必须染一种颜色. 若两个已染色的图,其中一个图可以通过结点重新编号而与另一个图完全相同, 就称这两个染色方案相同. 现在问你有多少种本质不同的染色方法,输出结果 mod P.P 是一个大于N 的质数. Input 仅一行包含三个数,N.M.P. Output 仅一行,为染色方法数 mod P 的结果.…

转自:http://endlesscount.blog.163.com/blog/static/82119787201221324524202/ Polya定理 首先记Sn为有前n个正整数组成的集合,G为Sn的置换群,C为Sn的着色集.那么我们等于是要求C中有多少种着色方案是不等价的.定义两种着色等价的概念:如果对于在C中的两种着色c1.c2,存在置换f使得f*c1=c2,那么c1和c2就是等价的.要想求不等价着色的个数,我们要先证明一个定理,即:         Burnside定理:设G(c…

对Polya定理的个人认识     我们先来看一道经典题目:     He's Circles(SGU 294)         有一个长度为N的环,上面写着“X”和“E”,问本质不同的环有多少个(不能旋转重复就称之为本质不同) 输入样例:4 输出样例:6 那么要怎么办呢?暴力显然暴不出来…… 我们可以考虑使用置换群. 我们有两种算法: ①Burnside引理: 答案直接为1/|G|*(D(a1)+D(a2)+D(a3)+……+D(as)) 其中D(ak)为在进行置换群置换操作ak下不变的元素的…