题解 传送门 题解 我是真的不明白这玩意儿是怎么跟反演扯上关系的-- 首先 \[ \begin{align} ans &=b\sum_{d|b}{1\over d}\sum_{i=a}^{b}i[\gcd(i,b)=d]\\ &=b\sum_{d|b}\sum_{i=\lceil{a\over d}\rceil}^{b\over d}i[gcd(i,{b\over d})=1]\\ \end{align} \] 然后有一个非常神仙的操作--就是强行反演一波,把\([n=1]\)化成\(\s…

题意 题目链接 Sol 不想打公式了,最后就是求一个 \(\sum_{i=1}^n ig(\frac{N}{i})\) \(g(i) = \sum_{i=1}^n \phi(i) i^2\) 拉个\(id2\)卷一下 这个博客推的狠详细 #include<bits/stdc++.h> #define int long long #define LL long long using namespace std; const int MAXN = 1e6 + 10, mod = 1e9 + 7,…

[CJOJ2512]gcd之和(莫比乌斯反演) 题面 给定\(n,m(n,m<=10^7)\) 求 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)\] 题解 首先把公因数直接提出来 \[\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[gcd(i,j)==1]\] 很明显 设 \[f(x)=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}[gcd(i,j)==x]\] \[g(x)=\sum_{x|d}f(d)\] \[g(…

给出2个数a, b,求LCM(a,b) + LCM(a+1,b) + .. + LCM(b,b). 例如:a = 1, b = 6,1,2,3,4,5,6 同6的最小公倍数分别为6,6,6,12,30,6,加在一起 = 66. 由于结果可能很大,输出Mod 10^9 + 7的结果.(测试数据为随机数据,没有构造特别坑人的Test) Input 第1行:一个数T,表示后面用作输入测试的数的数量.(1 <= T <= 50000) 第2 - T + 1行:每行2个数a, b,中间用空格分隔(1 &…

参考:http://blog.csdn.net/u014610830/article/details/49493279 这道题做起来感觉非常奇怪啊--头一次见把mu推出来再推没了的-- \[ \sum_{i=a}^{b}lcm(i,b) \] \[ \sum_{i=a}^{b}\frac{i*b}{gcd(i,b)} \] \[ \sum_{d|b}\sum_{i=a}^{b}[gcd(i,b)==d]\frac{ib}{d} \] \[ \sum_{d|b}\sum_{i=\left \lfl…

题意:求\(\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{n}lcm(i, j)\). 题解:虽然网上很多题解说用mu卡不过去,,,不过试了一下貌似时间还挺充足的,..也许有时间用phi试试? 因为是用的莫比乌斯函数求的,所以推导比大部分题解多...而且我写式子一般都比较详细,所以可能看上去很多式子,实际上是因为每一步都写了,几乎没有跳过的.所以应该都可以看懂的. 末尾的\(e\)函数是指的\(e[1] = 1\),\(e[x] = 0(x != 1)\)这样一个函数 \[\sum…

题面 传送门 题解 我此生可能注定要和反演过不去了--死都看不出来为啥它会突然繁衍反演起来啊-- 设\(f(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[{ij\over\gcd(i,j)}\leq n]\),这是一个类似前缀的东西,除了\([i,i]\)型的之外每一个二元组都被算了\(2\)次,所以\({f(n)+n\over 2}\)就是\(lcm\)小于等于\(n\)的二元组个数,答案就是两个前缀和相减的形式 所以现在问题来了,该怎么计算\(f(n)\)呢-- 二话不说先推倒吧-…

参考:https://www.cnblogs.com/SilverNebula/p/7045199.html 所是反演其实反演作用不大,又是一道做起来感觉诡异的题 转成前缀和相减的形式 \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[\frac{i*j}{gcd(i,j)}\leq n] \] \[ \sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d}\right \rfloor}\sum_{j=1}^{\left \lfloor…

题目链接 \(Description\) \(n\leq 10^{10}\),求 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ngcd(i,j)\ mod\ (1e9+7)\] \(Solution\) 首先 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ngcd(i,j)=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[gcd(i,j)=d]\] 注意不是\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ngcd(i,j)=\sum_{d=1}^n\sum…

http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1190 \[ \begin{aligned} &\sum_{i=a}^b\frac{ib}{(i,b)}\\ =&b\sum_{i=a}^b\frac i{(i,b)}\\ =&b\sum_{d|b}\sum_{i=a}^b[d|i]\left[\left(\frac id,\frac bd\right)=1\right]\frac id\\ =&b…