题解: 很多方法 斯特林数推导略麻烦但是不依赖于模数 代码: 拉格朗日插值 由于可以证明这是个K+1次多项式于是可以直接用插值 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; ; #define IL inline #define ll long long #define rint register int #define rep(i,h,t) for (rint i=h;i<=t;i++) #define dep(i,t,h) for (ri…

There are well-known formulas: , , . Also mathematicians found similar formulas for higher degrees. Find the value of the sum  modulo 109 + 7 (so you should find the remainder after dividing the answer by the value 109 + 7). Input The only line conta…

二项式定理求自然数幂和 由二项式定理展开得 \[ (n+1)^{k+1}-n^{k+1}=\binom {k+1}1n^k+\binom {k+1}2n^{k-1}+\cdots+\binom {k+1}kn+1 \] 那么,对于所有的\(n=1,2,3,\cdots\)累加得到 \[ (n+1)^{k+1}-1=\binom{k+1}1\sum_{i=1}^ni^k+\binom{k+1}2\sum_{i=1}^ni^{k-1}+\cdots+\binom {k+1}k\sum_{i=1}^n…

自然数幂和: (1) 伯努利数的递推式: B0 = 1 (要满足(1)式,求出Bn后将B1改为1 /2) 参考:https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/38929067 使用分数类,代入求解 #include<cstdio> #include<iostream> #include<cstdlib> #include<…

题目链接 题意 : 就是让你求个自然数幂和.最高次可达 1e6 .求和上限是 1e9 分析 :  题目给出了最高次 k = 1.2.3 时候的自然数幂和求和公式 可以发现求和公式的最高次都是 k+1 那么大胆猜测幂为 k 的自然数幂和肯定可以由一个最高次为 k+1 的多项式表示 不会证明,事实也的确如此 此时就变成了一个拉格朗日插值的模板题了 只要先算出 k+2 个值.然后就能确定最高次为 k+1 的多项式 套模板求值即可 当然自然数幂和不止这一种做法.例如伯努利数.斯特林数等 详细可参考 ==…

https://vjudge.net/problem/51Nod-1228 Description T(n) = n^k,S(n) = T(1) + T(2) + ...... T(n).给出n和k,求S(n). 例如k = 2,n = 5,S(n) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55. 由于结果很大,输出S(n) Mod 1000000007的结果即可. Input 第1行:一个数T,表示后面用作输入测试的数的数量.(1 <= T <= 5000) 第2 -…

[题意]给定k<=123,a,n,d<=10^9,求: $$f(n)=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=1}^{a+id}\sum_{x=1}^{j}x^k$$ [算法]拉格朗日插值 [题解]参考:拉格朗日插值法及应用 by DZYO 虽然式子很复杂,但一点一点化简有条理的化简后就可以做了. 首先最后是一个自然数幂和: $$\sum_{x=1}^{j}x^k$$ 这是一个k+1次多项式,可以理解为k+一个Σ(一般一个Σ增加一次项). 然后会发现最后部分和第二部分之间不需要插值,因为第…

题意 求 $ \displaystyle \sum_{i=1}^n i^k \ mod (1e9+7), n \leq 10^9, k \leq 10^6$. CF622F 分析 易知答案是一个 $k+1$ 次多项式,我们找 $k+2$ 个值代进去,然后拉格朗日插值. $n+1$ 组点值对 $(x_i, y_i)$,得到 $n$ 次多项式 $f$ 的拉格朗日插值公式为: $$f(x) = \sum_{i = 0}^n y_i\prod_{j\not =i} \frac{x-x_j}{x_i-x_…

2951:浮点数求高精度幂 总时间限制: 1000ms 内存限制: 65536kB 描述 有一个实数 R ( 0.0 < R < 99.999 ) ,要求写程序精确计算 R 的 n 次方.n 是整数并且 0 < n <= 25. 输入 T输入包括多组 R 和 n. R 的值占第 1 到 第 6 列,  n 的值占第 8 和第 9 列. 输出 对于每组输入,要求输出一行,该行包含精确的 R 的 n 次方.输出需要去掉前导的 0 后后面不不要的 0 .如果输出是整数,不要输出小数点.…

求高精度幂 时间限制:3000 ms  |  内存限制:65535 KB 难度:2   描述 对数值很大.精度很高的数进行高精度计算是一类十分常见的问题.比如,对国债进行计算就是属于这类问题. 现在要你解决的问题是:对一个实数R( 0.0 < R < 99.999 ),要求写程序精确计算 R 的 n 次方(Rn),其中n 是整数并且 0 < =n <= 25.   输入 输入有多行,每行有两个数R和n,空格分开.R的数字位数不超过10位. 输出 对于每组输入,要求输出一行,该行包含…