仙人掌&圆方树学习笔记 1.仙人掌 圆方树用来干啥? --处理仙人掌的问题. 仙人掌是啥? (图片来自于\(BZOJ1023\)) --也就是任意一条边只会出现在一个环里面. 当然,如果你的图片想看起来舒服一点,也可以把图片变成这样子 (图片来源于网络) 2.DFS树 为啥要写这个?--因为这个看起来也可以解决一些仙人掌的问题. 对于一个仙人掌,我们随便构建出一棵生成树. 然后我们就多了一些边--可以叫返祖边,非树边--你想叫啥就叫啥. 因为每条边只会出现在一个环中, 所以每一条返祖边覆盖了树中…

仙人掌 圆方树是用来解决仙人掌图的问题的,那什么是仙人掌图呢? 如图,不存在边同时属于多个环的无向连通图是一棵仙人掌 圆方树 定义 原先的仙人掌图,通过一些奇妙的方法,可以转化为一棵由圆点,方点和树边构成的树--圆方树,具体构建方法如下 原仙人掌的每一个点为圆点,对于每个环都新建一个方点,方点向环上的每一个圆点连边,就构成了圆方树. ___ 构建方法 用\(tarjan\)算法求出点双,对于每一个点双新建一个方点与环上的点相连,注意一条边连接两个点的不算点双. 代码: void tarjan(i…

QWQ果然我已经什么都学不会的人了. 这个题目要求的是图上所有路径的点权和!QWQ(我只会树上啊!) 这个如果是好啊 这时候就需要 圆方树! 首先在介绍圆方树之前,我们先来一点简单的前置知识 首先,我们需要知道什么是 点双联通分量 若一个无向图中的去掉任意一个节点都不会改变此图的连通性,即不存在割点,则称作点双连通图.那么一个极大的点双联通子图,就是一个双联通分量了 那么求这个方法,和普通求割点的\(tarjan\)类似 用一个栈维护所有的点 对于搜索到一个割点,然后把他的栈内部的点依次弹栈,直…

仙人掌&圆方树 Tags:图论 [x] [luogu4320]道路相遇 https://www.luogu.org/problemnew/show/P4320 [ ] [SDOI2018]战略游戏 https://www.luogu.org/problemnew/show/P4606 [x] [APIO2018]铁人两项 https://www.luogu.org/problemnew/show/P4630 [ ] [SHOI2008]仙人掌图 [ ] [BZOJ4316]小C的独立集 [x]…

仙人掌 && 圆方树 && 虚树 总结 Part1 仙人掌 定义 仙人掌是满足以下两个限制的图: 图完全联通. 不存在一条边处在两个环中. 其中第二个限制让仙人掌的题做起来十分舒服. 仙人掌的基环DP 首先勾出一棵有根生成树. 那么树边上正常转移即可. 我们把返祖边形成的环归到环上深度最浅的点上,即环顶. 那么到环顶时,单独跑一遍关于环的\(DP\)即可. 一般写法为: void dfs(RG int u,RG int From) { dfn[u] = low[u] = +…

题目链接 本代码10分(感觉速度还行..). 建圆方树,预处理一些东西.对询问建虚树. 对于虚树上的圆点直接做:对于方点特判,枚举其所有儿子,如果子节点不在该方点代表的环中,跳到那个点并更新其val,加入B数组:对于环中的点直接加入B数组. 然后像BZOJ2125一样更新环上的.懒得写拆环的单调队列了,直接用min(abs,len-abs). UOJ特么的数据有毒啊.调不出来了,AC的代码一个比一个码风奇特,还有的贼长..先不调了. 一上午+半下午了..从注释的代码可以看出调的过程多么鬼畜. /…

题目链接 圆方树.做题思路不写了.. 就是当LCA是方点时跳进那个环可以分类讨论一下用树剖而不必须用倍增: 如果v是u的(唯一的那个)重儿子,那么u的DFS序上+1的点即是要找的:否则v会引出一条新的链. 不用圆方树的做法(代码错了不想改了,但是能A). //3876kb 148ms(Rank6!) #include <cstdio> #include <cctype> #include <algorithm> //#define gc() getchar() #def…

orzYCB 虚树 %自为风月马前卒巨佬% 用于优化一类树形DP问题. 当状态转移只和树中的某些关键点有关的时候,我们把这些点和它们两两之间的LCA弄出来,以点的祖孙关系连成一棵新的树,这就是虚树. 容易证明,如果关键点数量为\(m\),则虚树点数不超过\(2m\). 虚树的构建 dfs原树,对点进行dfn标号,并将关键点按dfn从小到大排序. 搞个栈,栈内的点满足:都在从栈顶的点到原树的根的一条链上. 现在我们准备加入一个点\(x\) 直接加可能破坏一条链的性质,于是把栈顶的元素弹掉直到可以加…

题意:求仙人掌图直径. 算法:建出仙人掌圆方树,对于圆点直接做普通的树上DP(忽略方点儿子),方点做环上DP并将值直接赋给父亲. 建图时有一个很好的性质,就是一个方点在邻接表里的点的顺序正好就是从环的根开始的整个环的点的顺序,所以可以直接DP. #include<cstdio> #include<algorithm> #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++) using namespace std; ,inf=; int n,m,…

题意:仙人掌图最短路. 算法:圆方树DP,$O(n\log n+Q\log n)$ 首先建出仙人掌圆方树(与点双圆方树的区别在于直接连割边,也就是存在圆圆边),然后考虑点u-v的最短路径,显然就是:在圆方树上u-v的路径上的所有边权之和,加上每个环(方点)中连出去的两个点的最短距离. 现在问题就是:如何求出环上两个点的最短路径.考虑这样设定边权,首先显然圆圆边的边权就是原图的边权,然后设一个环在搜索树中深度最小的点为这个环的根,则方圆边的边权是环的根到这个点的最短距离,这个可以在Tarjan的时…

题意 略 题解 求路径上的割点. 然后就直接圆方树上差分 CODE #include <bits/stdc++.h> using namespace std; inline void rd(int &x) { char ch; for(;!isdigit(ch=getchar());); for(x=ch-'0';isdigit(ch=getchar());)x=x*10+ch-'0'; } const int MAXN = 100005; const int MAXM = 20000…

- 学习了一波圆方树 学习了一波点分治 学习了一波可删除堆(巧用 ? STL) 传送门: Icefox_zhx 注意看代码看怎么构建圆方树的. tips:tips:tips:圆方树内存记得开两倍 CODE #include <vector> #include <queue> #include <cstdio> #include <cctype> #include <cstring> #include <algorithm> using…

终于学了圆方树啦~\(≧▽≦)/~ 感谢y_immortal学长的博客和帮助 把他的博客挂在这里~ 点我传送到巨佬的博客QwQ! 首先我们来介绍一下圆方树能干什么呢qwq 1.将图上问题简化到树上问题 2.一般是路径并 3.资磁修改! 然后我们就可以步入正题来学习圆方树啦~ ——超良心圆方树教程!—— 这里是一个前缀芝士清单! 1.Tarjan求点双连通分量 2.树链剖分 如果你大体知道这两个东西在干什么 那你看接下来的教程就会非常熟练[大雾 一.圆方树的构造 原图中的点称为原点 新建的点称为方…

目录 圆方树的定义 圆方树的构造 实现 细节 圆方树的运用 「BZOJ 3331」压力 「洛谷 P4320」道路相遇 「APIO 2018」「洛谷 P4630」铁人两项 「CF 487E」Tourists 「SDOI 2018」「洛谷 P4606」战略游戏 「BZOJ 4316」小C的独立集 「洛谷 P5236」「模板」静态仙人掌 「HNOI 2009」「洛谷 P4410」无归岛 圆方树的定义   圆方树是由一个无向图转化出的树形结构.转化方法为: 所有原图的点为"圆点". 对于每个点…

[BZOJ2125]最短路(仙人掌,圆方树) 题面 BZOJ 求仙人掌上两点间的最短路 题解 终于要构建圆方树啦 首先构建出圆方树,因为是仙人掌,和一般图可以稍微的不一样 直接\(tarjan\)缩点,对于每一个强连通分量构建方点(只有一个点的就不要建了) 圆方边的权值定义为到\(dfs\)(\(Tarjan\)不就是搞了一棵\(dfs\)树出来吗?)树上深度最小的点的最短距离. 为什么会有最短距离?因为它是一个环啊,走两侧的距离是不同的. 将圆方树树链剖分,和普通的求距离一样,先求解\(LCA…

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/UOJ23.html 题目传送门 - UOJ#23 题意 给定一个有 n 个节点的仙人掌(可能有重边). 对于所有的 $L(1\leq L\leq n-1)$ ,求出有多少不同的从节点 1 出发的包含 L 条边的简单路径.简单路径是指不重复经过任意一点. $n\leq 10^5$ 题解 首先我们把走一条边看作多项式 $x^1$ ,那么一条长度为 L 的路径就是其路径上的多项式的乘积. 接下来称“环根”为距离节点…

Description 如果某个无向连通图的任意一条边至多只出现在一条简单回路(simple cycle)里,我们就称这张图为仙人掌图(cactus). 所谓简单回路就是指在图上不重复经过任何一个顶点的回路. 举例来说,上面的第一个例子是一张仙人图,而第二个不是——注意到它有三条简单回路: (4,3,2,1,6,5,4).(7,8,9,10,2,3,7)以及(4,3,7,8,9,10,2,1,6,5,4), 而(2,3)同时出现在前两个的简单回路里.另外,第三张图也不是仙人图,因为它并不是连通图…

[题意]给定带边权仙人掌图,Q次询问两点间最短距离.n,m,Q<=10000 [算法]圆方树处理仙人掌问题 [题解]树上的两点间最短路问题,常用倍增求LCA解决,考虑扩展到仙人掌图. 先对仙人掌图建圆方树,圆圆边和原图边权一致.对于每个方点代表的环,记深度最小的点为x,则圆方边的边权是圆点到x的最短距离. 若lca(u,v)为圆点,则两点间最短路转化为圆方树上dis[u]+dis[v]-2*dis[lca].(向上延伸的路径,经过环则必然经过每个方点的x,计算无误) 若lca(u,v)为方点,则…

LINK:地图 考虑如果是一棵树怎么做 权值可以离散 那么可以直接利用dsu on tree+树状数组解决. 当然 也可以使用莫队 不过前缀和比较难以维护 外面套个树状数组又带了个log 套分块然后就可以了. 最暴力的当然是线段树合并了. 此时考虑这是个仙人掌 仔细画图 发现一些比较好的性质 某个点x 除了自己某个儿子的low比自己的dfn小 剩下的都大. 剩下的显然都可以造成贡献 利用dfn和low可以轻松判断 然后上线段树合并即可. 省空间的话可以直接离线 当然也可以在线做. 不过这个做法不…

题面 n n n 个点, m m m 条边. 1 ≤ n ≤ 1 0 5 , n − 1 ≤ m ≤ 2 × 1 0 5 1\leq n\leq 10^5,n-1\leq m\leq 2\times10^5 1≤n≤105,n−1≤m≤2×105 . 题解 直接求行列式是不现实的,我们可以通过行列式的定义式来思考解法. 一个会产生贡献的排列,相当于要每个点选一个邻接点当爹,每个点的爹必须不一样. 如果这个点度为 1,那么它和它的邻接点必须配对,然后相当于删掉了.同时这两个点使得该排列的贡献乘上…

考虑建出圆方树.显然只有同一个点相连的某些子树同构会产生贡献.以重心为根后(若有两个任取一个即可),就只需要处理子树内部了. 如果子树的根是圆点,其相连的同构子树可以任意交换,方案数乘上同构子树数量的阶乘即可.而若是方点,注意到其相邻的圆点在原树中是有序地在一个环上的,要产生同构只能旋转或翻转该环.并且因为一开始我们选择了重心为根,所以对于非重心的方点,将其所在的环旋转显然是无法产生贡献的.所以对于方点的所有孩子按环上顺序存储,其哈希值应以该顺序计算,正反取较小的,算贡献时对非重心点只考虑翻转,…

圆方树新技能get.具体笔记见图连通性问题学习笔记. 这题求无向图的必经点,这个是一个固定套路:首先,一张连通的无向图中,每对点双和点双之间是以一个且仅一个割点连接起来的(如果超过一个就不能是割点了),那么,在一个点双内部,从出发点开始,要走到另外一个点双中,这个中间的割点就是一条必经之路(没有其他路可以绕,否则这就有一个环了),所以,路上所有割点都是必经点,而点双内部走的话,由点双的定义,是至少有两条点不相交的路径的(当然两个点的点双的话直接没有中间点),所以中间非割点是可经而不是必经的. 所…

[APIO2018]铁人两项(圆方树,动态规划) 题面 UOJ 洛谷 BZOJ 题解 嘤嘤嘤,APIO的时候把一个组合数写成阶乘了,然后这题的70多分没拿到 首先一棵树是很容易做的,随意指定起点终点就只能在两点路径上选择第三点.那么考虑过中点的路径个数,就可以很方便的\(dp\)计算了. 对于仙人掌而言,把环全部缩成点,转成树,缩起来的点额外定义一个点权,同样可以直接在树上做\(dp\),额外考虑环自身内部的贡献. 那么对于一般图而言,构建圆方树,那么选定起点和终点后,还是只能选择两点路径之间的…

传送门 对仙人掌建立圆方树,然后对边定权 对于圆点和圆点之间的边,是原来仙人掌上的桥,边权保持不变 对于圆点和方点之间的边,将圆方树看做以一个圆点为根的有根树之后,一个方点的父亲一定是一个圆点.对于这条方圆边,将边权设为\(0\). 而对于这个方点连接的其他圆点来说,如果要从这个点走到方点的父亲并走出这一个环,在原仙人掌上会走最短的路径.那么这些圆方边的权值就是在原仙人掌上从这个圆点到对应方点的父亲的最短路径长度. 然后在圆方树上建立倍增数组 接着考虑每一个询问. 对于某一个询问\((x,y)\…

题意 给定仙人掌,多次询问两点之间的最短路径. \(n\le 10000, Q\le 10000​\) 分析 建出圆方树,分路径 lca 是圆点还是方点讨论. 预处理出根圆点到每个圆点的最短距离 \(dis\) . 如果 lca 是圆点,那么最短距离就是 \(dis_a+dis_b-2*dis_{lca}\). 否则找到 lca 到 a, b 路径上的第一个方点 x, y,最短距离即 \(dis_a-dis_x+dis_b-dis_y+dist(x, y)\) .其中 \(dist(x, y)\…

题目:https://loj.ac/problem/2587 先写了 47 分暴力. 对于 n<=50 的部分, n3 枚举三个点,把图的圆方树建出来,合法条件是 c 是 s -> f 路径上的方点连出去的某个圆点.像找 LCA 那样走一遍 s -> f 路径即可. 对于树的部分,考虑一条路径对答案的贡献是其边数减 1 ,所以对于每条边求一下它在多少路径中,就是 siz[ v ] * ( n-siz[ v ] ) ( v 是它指向的点),然后答案再减去 \( C_n^2 \) 即可. 注…

传送门 人生的第一道仙人掌. 这道题求是仙人掌上的最短路. 先建出圆方树,然后用倍增跑最短路,当lca" role="presentation" style="position: relative;">lcalca是圆点和方点时分类讨论答案即可. 代码如下: #include<bits/stdc++.h> #define N 20005 using namespace std; inline int read(){ int ans=0;…

题目链接 题意大概是,求有多少三元组$(s,c,f)(s \neq c, c \neq f, s \neq f)$,满足从$s$到$f$有一条简单路径经过$c$. 得到结论: 点双中任意互不相同的三个点,必定存在一条简单路径依次经过这三个点. 显然,割点只能经过一次. 建出一棵圆方树,圆点的权值为$-1$,方点的权值为该点双中点的个数,那任意两个圆点之间可以作为它们中转点的个数就是它们在圆方树上路径的点权和. 具体来讲就是割点上只能经过一次,圆点设成$-1$是为了去重方便. 以前只写过点双缩树,…

圆方树总结 所谓圆方树就是把一张图变成一棵树. 怎么变啊qaq 这里盗一张图 简单来说就是给每一个点双新建一个点,然后连向这个点双中的每一个点.特殊的,把两个点互相连通的也视作一个点双. 我们把原来就有的点称作圆点,因点双而新建的点称之为方点. 这样这棵圆方树就会有一个这样的性质:和每个圆点(方点)相连的点一定是方点(圆点). 我们在每个圆点上维护这个点原本的信息,在方点上维护这个点双的信息,这样就能完成一些关于一般图的所有简单路径的询问了. 例如:我现在有一张一般图,每个点有一个点权,要求从\…

圆方树不仅能解决仙人掌问题(虽然我仙人掌问题也没用过圆方树都是瞎搞过去的),还可以解决一般图的问题 一般图问题在于缩完环不是一棵树,所以就缩点双(包括双向边) 每个方点存他所在点双内除根以外的点的最小权值,这样的好处是更新原点的时候不用更新它一圈的方点,只更新父亲即可 树剖维护,然后查的时候如果lca是方点,就额外查一下他的父亲 #include<iostream> #include<cstdio> #include<vector> #include<cstrin…