二项式定理求自然数幂和 由二项式定理展开得 \[ (n+1)^{k+1}-n^{k+1}=\binom {k+1}1n^k+\binom {k+1}2n^{k-1}+\cdots+\binom {k+1}kn+1 \] 那么,对于所有的\(n=1,2,3,\cdots\)累加得到 \[ (n+1)^{k+1}-1=\binom{k+1}1\sum_{i=1}^ni^k+\binom{k+1}2\sum_{i=1}^ni^{k-1}+\cdots+\binom {k+1}k\sum_{i=1}^n…

自然数幂和: (1) 伯努利数的递推式: B0 = 1 (要满足(1)式,求出Bn后将B1改为1 /2) 参考:https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/38929067 使用分数类,代入求解 #include<cstdio> #include<iostream> #include<cstdlib> #include<…

https://vjudge.net/problem/51Nod-1228 Description T(n) = n^k,S(n) = T(1) + T(2) + ...... T(n).给出n和k,求S(n). 例如k = 2,n = 5,S(n) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55. 由于结果很大,输出S(n) Mod 1000000007的结果即可. Input 第1行:一个数T,表示后面用作输入测试的数的数量.(1 <= T <= 5000) 第2 -…

题目链接 题意 : 就是让你求个自然数幂和.最高次可达 1e6 .求和上限是 1e9 分析 :  题目给出了最高次 k = 1.2.3 时候的自然数幂和求和公式 可以发现求和公式的最高次都是 k+1 那么大胆猜测幂为 k 的自然数幂和肯定可以由一个最高次为 k+1 的多项式表示 不会证明,事实也的确如此 此时就变成了一个拉格朗日插值的模板题了 只要先算出 k+2 个值.然后就能确定最高次为 k+1 的多项式 套模板求值即可 当然自然数幂和不止这一种做法.例如伯努利数.斯特林数等 详细可参考 ==…

[题意]给定k<=123,a,n,d<=10^9,求: $$f(n)=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=1}^{a+id}\sum_{x=1}^{j}x^k$$ [算法]拉格朗日插值 [题解]参考:拉格朗日插值法及应用 by DZYO 虽然式子很复杂,但一点一点化简有条理的化简后就可以做了. 首先最后是一个自然数幂和: $$\sum_{x=1}^{j}x^k$$ 这是一个k+1次多项式,可以理解为k+一个Σ(一般一个Σ增加一次项). 然后会发现最后部分和第二部分之间不需要插值,因为第…

伯努利数法 伯努利数原本就是处理等幂和的问题,可以推出 $$ \sum_{i=1}^{n}i^k={1\over{k+1}}\sum_{i=1}^{k+1}C_{k+1}^i*B_{k+1-i}*(n+1)^i $$ 因为 $$\sum_{k=0}^nC_{n+1}^kB_k=0(B_0=1)$$ 所以 $$ B_n={- {1\over{n+1}}}(C_{n+1}^0B_0+C_{n+1}^1B_1+……C_{n+1}^{n-1}B_{n-1})$$ 伯努利数的证明十分复杂,记住即可. 题目…

题意 求 $ \displaystyle \sum_{i=1}^n i^k \ mod (1e9+7), n \leq 10^9, k \leq 10^6$. CF622F 分析 易知答案是一个 $k+1$ 次多项式,我们找 $k+2$ 个值代进去,然后拉格朗日插值. $n+1$ 组点值对 $(x_i, y_i)$,得到 $n$ 次多项式 $f$ 的拉格朗日插值公式为: $$f(x) = \sum_{i = 0}^n y_i\prod_{j\not =i} \frac{x-x_j}{x_i-x_…

与UVA766 Sum of powers类似,见http://www.cnblogs.com/IMGavin/p/5948824.html 由于结果对MOD取模,使用逆元 #include<cstdio> #include<iostream> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<string> #include<algorithm> #include<map> #in…

题目大意:$n$ 个点的完全图,点 $i$ 和点 $j$ 的边权为 $(i+j)^k$.随机一个生成树,问这个生成树边权和的期望对 $998244353$ 取模的值. 对于P5437:$1\le n\le 998244352,1\le k\le 10^7$. 对于P5442:$1\le n\le 10^4,\le k\le 10^7$. 其实也是一道比较简单的题.(所以就应该把这题和上一道原题调个位置) 考虑一条边在生成树中出现的概率,由于一共有 $\dfrac{n(n-1)}{2}$ 条边,一…

题解: 很多方法 斯特林数推导略麻烦但是不依赖于模数 代码: 拉格朗日插值 由于可以证明这是个K+1次多项式于是可以直接用插值 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; ; #define IL inline #define ll long long #define rint register int #define rep(i,h,t) for (rint i=h;i<=t;i++) #define dep(i,t,h) for (ri…