求 $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j)\mu(gcd(i,j))^2$   $\Rightarrow \sum_{d=1}^{n}\mu(d)^2\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\frac{ij}{d}[gcd(i,j)==d]$   $\Rightarrow \sum_{d=1}^{n}\mu(d)^2\frac{1}{d}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}ij[gcd(i,j)==d]$   $\Right…

[BZOJ4804]欧拉心算 Description 给出一个数字N Input 第一行为一个正整数T,表示数据组数. 接下来T行为询问,每行包含一个正整数N. T<=5000,N<=10^7 Output 按读入顺序输出答案. Sample Input 1 10 Sample Output 136 题解: 显然,$\varphi$和$\mu$都是积性函数,卷起来肯定也是积性函数,可以线性筛来搞.但是本蒟蒻到这里就卡住了,怎么线性筛啊?于是找题解,发现题解都说很简单.无奈,只好打表找规律了.(…

Description 给出一个数字N 求\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\varphi(gcd(i,j))\) Input 第一行为一个正整数T,表示数据组数. 接下来T行为询问,每行包含一个正整数N. T<=5000,N<=10^7 Output 按读入顺序输出答案. Sample Input 1 10 Sample Output 136 sol 这种题,八成和欧拉函数或者莫比乌斯函数有关...... 那就推式子: \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{i…

推导: 设d=gcd(i,j) 利用莫比乌斯函数的性质 令sum(x,y)=(x*(x+1)/2)*(y*(y+1)/2) 令T=d*t 设f(T)= T可以分块.又由于μ是积性函数,积性函数的约束和仍是积性函数,所以f也是积性函数,可以O(n)线性筛求得.总时间复杂度为 具体筛法看代码. 代码: #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; #define mod…

题意 求$$\sum_1^n \sum_1^n \phi(gcd(i, j))$$ $T \leqslant 5000, N \leqslant 10^7$ Sol 延用BZOJ4407的做法 化到最后可以得到 $$\sum_{T = 1}^n \frac{n}{T} \frac{n}{T} \sum_{d \mid T}^n \phi(d) \mu(\frac{T}{d})$$ 后面的那个是积性函数,直接筛出来 注意这个函数比较特殊,筛的时候需要分几种情况讨论 1. $H(p) = p - 2…

正解:莫比乌斯反演/欧拉函数 解题报告: 传送门$QwQ$ 一步非常显然的变形,原式=$\sum_{d=1,d\in prim}^{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)==d]$ 后面那个就莫比乌斯反演入门题辣$QwQ$? 就变成$\sum_{p=1}^{n}[p\mbox{为质数}]\sum_{d=1}^{n/p}\mu(d)\lfloor \frac {n/p}{d}\rfloor^2$ 十分套路的,后面显然可以数论分块,就变成了$\sum_{p=1…

题目描述 求 输入 第一行包含一个正整数T,表示有T组测试数据.接下来T<=10^5行,每行给出一个正整数N,N<=10^6. 输出 包含T行,依次给出对应的答案. 样例输入 7 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 样例输出 1 2127 18446224 183011304660 1827127167830060 18269345553999897648 182690854273058293758232 题解 “高精度”+欧拉函数+线性筛 由于$i$和$j$…

一通套路后得Σφ(d)μ(D/d)⌊n/D⌋2.显然整除分块,问题在于怎么快速计算φ和μ的狄利克雷卷积.积性函数的卷积还是积性函数,那么线性筛即可.因为μ(pc)=0 (c>=2),所以f(pc)还是比较好算的,讨论一波即可. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<algorith…

ssplaysecond的博客(请使用VPN访问): 中国剩余定理: https://ssplaysecond.blogspot.jp/2017/04/blog-post_6.html 欧拉函数: https://ssplaysecond.blogspot.jp/2017/04/blog-post_8.html 莫比乌斯反演 https://ssplaysecond.blogspot.jp/2017/04/blog-post_91.html 狄利克雷卷积与杜教筛 https://ssplayse…

题目链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P2568#sub 题目大意: 计算​$\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^n [gcd(x,y)==prime]​$ 题解: 解法一:莫比乌斯反演套路题 其实这样就可以了,但是还可以优化一下子 设​​T=dp ​ 整除分块就好了,其实这就和 yy的gcd 一样了 解法二:欧拉函数 考虑上面的第一个式子​可以化简成 ​ tot是n以内质数的数量 这是因为考虑到每次都两次计算了​$\varphi(1)$…