题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1101 莫比乌斯反演 1101: [POI2007]Zap 设 \(f(i)\) 表示 \((x,y)\) \(x\in [1,a],y\in [1,b]\) 满足 \(gcd(x,y)=i\) 的对数 那么答案就是 \(f(d)\) 构造一个函数 \(g(i)\) 表示 \((x,y)\) \(x\in [1,a],y\in [1,b]\) 满足 \(gcd(x,y)|i\) 的对数 于是…

1101: [POI2007]Zap Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 162 MBSubmit: 2951  Solved: 1293[Submit][Status][Discuss] Description FGD正在破解一段密码,他需要回答很多类似的问题:对于给定的整数a,b和d,有多少正整数对x,y,满足x<=a,y<=b,并且gcd(x,y)=d.作为FGD的同学,FGD希望得到你的帮助. Input 第一行包含一个正整数n,表示一共有n组询问.(1…

模板题-- \[\sum\limits_{i=1}^a\sum\limits_{j=1}^b[(i,j)=k] = \sum\limits_{i=1}^a\sum\limits_{j=1}^b[k|i][k|j][({i\over k},{j\over k})=1]=\sum\limits_{i=1}^{a\over k}\sum\limits_{j=1}^{b\over k}[(i,j)=1]\] 继续化简 \[\sum\limits_{i=1}^{b\over k}\sum\limits_{…

[POI2007]ZAP-Queries \(solution:\) 唉,数论实在有点烂了,昨天还会的,今天就不会了,周末刚证明的,今天全忘了,还不如早点写好题解. 这题首先我们可以列出来答案就是: \(ans=\sum_{i=1}^{a}{\sum_{j=1}^{b}{[gcd(i,j)==d]}}\) 我们发现后面那个东西(只有\(gcd(i,j)==d\) 时才为一)跟莫比乌斯很像,莫比乌斯是(只有$n==$1 才为一),所以我们再尝试转化一下(把d转化成1): \(ans=\sum_{i…

Zap Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 162 MB[Submit][Status][Discuss] Description 对于给定的整数a,b和d,有多少正整数对x,y,满足x<=a,y<=b,并且gcd(x,y)=d. Input 第一行包含一个正整数n,表示一共有n组询问.接下来n行,每行表示一个询问,每行三个正整数,分别为a,b,d. Output 输出一个正整数,表示满足条件的整数对数. Sample Input 2 4 5 2 6 4 3 S…

1101: [POI2007]Zap Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 162 MB Description FGD正在破解一段密码,他需要回答很多类似的问题:对于给定的整数a,b和d,有多少正整数对x,y,满足x<=a ,y<=b,并且gcd(x,y)=d.作为FGD的同学,FGD希望得到你的帮助. Input 第一行包含一个正整数n,表示一共有n组询问.(1<=n<= 50000)接下来n行,每行表示一个询问,每行三个 正整数,分别为a,b,d.…

整除分块 用于计算$\sum_{i=1}^n f(\lfloor{n/i} \rfloor)*i$之类的函数 整除的话其实很多函数值是一样的,对于每一块一样的商集中处理即可 若一个商的左边界为l,则右边界为$\lfloor{\frac{n}{\lfloor\frac{n}{l}\rfloor}}\rfloor$ 这样时间复杂度就是$O(\sqrt{n})$ 如果是类似$\sum_{i=1}^n f(\lfloor{n/i} \rfloor)*i \ opt \ f(\lfloor{m/i} \r…

题面传送门 题意: 求满足 \(1 \leq x \leq n\),\(1 \leq y \leq m\),\(\gcd(x,y)\) 为质数的数对 \((x,y)\) 的个数. \(T\) 组询问. \(1 \leq T \leq 10^4\),\(1 \leq n,m \leq 10^7\). 今天终于学会了莫比乌斯反演反演~~,就写篇博客加深下印象吧. 要说这莫比乌斯反演有多么博大精深,就不得不从莫比乌斯函数 \(\mu(x)\) 说起. 我们定义 \(\mu(x)\) 为: \[\mu(…

求 answer = ∑ [gcd(x, y) = d] (1 <= x <= a, 1 <= y <= b) . 令a' = a / d, b' = b / d, 化简一下得到: answer = Σ μ(t)*⌊a'/t⌋*⌊b'/t⌋ ⌊a'/t⌋相等的是一段连续的区间, ⌊b'/t⌋同理, 而且数量是根号级别的 所以搞出μ的前缀和然后分块处理. ----------------------------------------------------------------…

https://www.luogu.org/problemnew/show/P2257 求 \(n,m\) 中 \(gcd(i,j)==p\) 的数对的个数 求 $\sum\limits_p \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==p] $ 由套路: \(=\sum\limits_p \sum\limits_{k=1}^{N}\mu(k) \lfloor\frac{n}{kp}\rfloor \lfloor\frac{m}{kp}…