LINK:染色 算是比较常规的广义容斥. 算恰好k个 可以直接转成至少k个. 至少k个非常的好求 直接生成函数. 设\(g_k\)表示至少有k个颜色是满足的 那么有 \(g_k=C(m,k)\frac{n!}{(s!)^k}\frac{(m-k)^{n-sk}}{(n-sk)!}\) 设\(f_k\)表示恰好有k个颜色是满足的 那么有 \(f_k=\sum_{j=k}C(j,k)(-1)^{j-k}g_j\) 前者可以直接求 后者需要卷积一下. 坑点:模数不是998244353 是1004535…

补充一篇详细得不能再详细的题解,比如让我自己看懂. 可能与前面的题解有些相同,我想补充一下自己的想法. 显然,最多 \(K\) 最大为 \(N=min(\lfloor \frac nS\rfloor,m)\) 首先,我们看到出现 \(S\) 次的颜色恰好 \(K\) 种的话,我们就可以考虑容斥,将其化为出现 \(S\) 次的颜色至少 \(K\) 种的方案数 \(f[K]\) 那么先选定在 \(m\) 中颜色中选定 \(i\) 种颜色,有 \(C_m^i\) 种 选定在 \(n\) 个位置中选定…

题目 为了报答小 C 的苹果, 小 G 打算送给热爱美术的小 C 一块画布, 这块画布可 以抽象为一个长度为 \(N\) 的序列, 每个位置都可以被染成 \(M\) 种颜色中的某一种. 然而小 C 只关心序列的 \(N\) 个位置中出现次数恰好为 \(S\) 的颜色种数, 如果恰 好出现了 \(S\) 次的颜色有 \(K\) 种, 则小 C 会产生 \(W_k\) 的愉悦度. 小 C 希望知道对于所有可能的染色方案, 他能获得的愉悦度的和对 1004535809 取模的结果是多少. 输入格式 从…

题意 https://loj.ac/problem/2527 思路 设 \(f(k)\) 为强制选择 \(k\) 个颜色出现 \(s\) 种,其余任取的方案数. 则有 \[ f(k)={m\choose k}{n\choose sk}{(sk)!\over(s!)^k}(m-k)^{n-sk} \] 不难看出,这个方案可能包括了超过 \(k\) 种颜色,也有重复的方案,所以恰有 \(k\) 个颜色出现 \(s\) 种的方案 \(ans_k\) 满足 \[ ans_k=\sum_{i=k}^{\m…

[BZOJ5306] [HAOI2018]染色(容斥原理+NTT) 题面 一个长度为 n的序列, 每个位置都可以被染成 m种颜色中的某一种. 如果n个位置中恰好出现了 S次的颜色有 K种, 则小 C 会产生 \(W_k\)的愉悦度. 求对于所有可能的染色方案, 他能获得的愉悦度的和.答案对 1004535809 取模 分析 显然颜色数量不超过\(tot=\min(m,\frac{n}{S})\) 我们需要求出现了\(S\)次的颜色有\(i\)种的方案数.这个东西不太好求,考虑容斥,求出现了\(S…

$ \color{#0066ff}{ 题目描述 }$ 为了报答小 C 的苹果, 小 G 打算送给热爱美术的小 C 一块画布, 这块画布可 以抽象为一个长度为 \(N\) 的序列, 每个位置都可以被染成 \(M\) 种颜色中的某一种. 然而小 C 只关心序列的 \(N\) 个位置中出现次数恰好为 \(S\) 的颜色种数, 如果恰 好出现了 \(S\) 次的颜色有 \(K\) 种, 则小 C 会产生 \(W_k\) 的愉悦度. 小 C 希望知道对于所有可能的染色方案, 他能获得的愉悦度的和对 \(1…

容易想到枚举恰好出现S次的颜色有几种.如果固定至少有i种恰好出现S次,那么方案数是C(M,i)·C(N,i*S)·(M-i)N-i*S·(i*S)!/(S!)i,设为f(i). 于是考虑容斥,可得恰好i种的答案为Σ(-1)j-iC(j,i)·f(j) (j=i~min(M,⌊N/S⌋)).因为容斥是一个枚举子集的过程,在算至少i种的方案时,f(j)被计入了C(j,i)次. f显然可以通过预处理阶乘及其逆元线性地算出来.考虑怎么快速算后一部分.注意到模数,NTT没跑了.拆开组合数,可以发现是与j-…

1003 染色         Time Limit: 1sec    Memory Limit:256MB Description 今天离散数学课学了有关树的知识,god_v是个喜欢画画的人,所以他喜欢对于一棵树上色,且相邻节点不能染相同颜色,他有k种颜色,他希望他染色完后,这棵树上每种颜色都有,他想请教你有多少种染色方案?由于方案数过大,输出对1e9+7取模的结果. Input 第一行 n,k表示树的节点和颜色数量(1<=k<=n<=100000) 第二行 n-1个数字,第i个数字表…

题目链接:http://codeforces.com/gym/100548/attachments 有n个物品 m种颜色,要求你只用k种颜色,且相邻物品的颜色不能相同,问你有多少种方案. 从m种颜色选k种颜色有C(m, k)种方案,对于k种颜色方案为k*(k-1)^(n-1)种.但是C(m, k)*k*(k-1)^(n-1)方案包括了选k-1,k-2...,2种方案. 题目要求刚好k种颜色,所以这里想到用容斥. 但是要是直接C(m, k)*k*(k-1)^(n-1) - C(m, k-1)*(k…

bzoj luogu Description 给一个长度为\(n\)的序列染色,每个位置上可以染\(m\)种颜色.如果染色后出现了\(S\)次的颜色有\(k\)种,那么这次染色就可以获得\(w_k\)的收益. 求所有染色方案的收益之和膜\(1004535809\). sol 整行公式太大了放不下就只能用行内公式了qaq 首先设\(N=\min(m,\lfloor\frac ns\rfloor)\),这是出现了\(S\)次的颜色种数的上界. 设\(F(i)\)表示染色后出现了\(S\)次的颜色有\…