题目描述 Alice 和 Bob 又在玩游戏. 对于一次游戏,首先 Alice 获得一个长度为 ​ 的序列 ​,Bob 获得一个长度为 ​ 的序列 bb.之后他们各从自己的序列里随机取出一个数,分别设为 ​,定义这次游戏的 ​次价值为​. 由于他们发现这个游戏实在是太无聊了,所以想让你帮忙计算对于 ​一次游戏​ 次价值的期望是多少. 由于答案可能很大,只需要求出模 ​下的结果即可. 输入输出格式 输入格式: 第一行两个整数 ​,分别表示 Alice 和 Bob 序列的长度. 接下来一行 ​ 个数…

P4705 玩游戏 题意:给长为\(n\)的\(\{a_i\}\)和长为\(m\)的\(\{b_i\}\),设 \[ f(x)=\sum_{k\ge 0}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\frac{(a_i+a_j)^k}{nm} x^k \] 求出\(f\)点前\(t\)项 \[ \begin{aligned} nmf(x)&=\sum_{k\ge 0}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{l=0}^k\binom{k}{l}a_i^lb_j^{k-l}x…

看见这个题依稀想起了$5$月月赛时候的事情,到现在仍然它感觉非常神仙. 游戏$k$次价值的期望答案 $$ans_k = \frac{1}{nm}\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{n}(a_i + b_j)^k$$ 二项式定理展开 $$ans_k=\frac{1}{nm}\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}\sum_{t = 0}^{k}\binom{k}{t}a_i^tb_j^{k - t}$$ $$ = \frac{1}{nm}\sum_{…

思路 超级麻烦... 写了一堆最后常数太大T飞了... 真的难受 发现solve函数可以不用把下一层复制上来,直接传指针就可以,下次再说写不写叭 思路 \[ ans_k=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m (a_i+b_j)^k \] 二项式定理拆一下式子 \[ \begin{align}ans_k=&\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m (a_i+b_j)^k\\=&\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{t=0}^k\left(\begin…

传送门 这是两个月之前写的题,但没写博客.现在回过头来看一下发现又不会了-- 还是要写博客加深记忆. 思路 显然期望可以算出总数再乘上\((nm)^{-1}\). 那么有 \[ \begin{align*} ans_t&=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m (a_i+b_j)^t\\ &=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \sum_{k=0}^t {t\choose k} a_i^k b_j^{t-k}\\ &=t!\sum_{k=0}^t (\s…

题目大意:对于每个$k\in[1,t]$,求:$$\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m(a_i+b_j)^k}{nm}$$$n,m,t\leqslant10^5$ 题解:发现这个$nm$是一个定值,可以先不考虑,先对每一个$k$来求$$\begin{align*}&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m(a_i+b_j)^k\\=&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=…

题目分析 题目要求的是: \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(a_i+b_j)^x(x\in [1,T]) \] 利用二项式定理化式子, \[ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(a_i+b_j)^x\\ =&\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{k=0}^x\binom{x}{k}a_i^kb_j^{x-k}\\ =&x!\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{k=0}^…

题面 传送门 题解 妈呀这辣鸡题目调了我整整三天--最后发现竟然是因为分治\(NTT\)之后的多项式长度不是\(2\)的幂导致把多项式的值存下来的时候发生了一些玄学错误--玄学到了我\(WA\)的点全都是\(WA\)在\(2\)的幂次行里-- 看到这种题目二话不说先推倒 \[ \begin{aligned} [x^k]Ans &={1\over nm}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\left(a_i+b_j\right)^k\\ &={1\over nm}\sum_{i=…

[洛谷5月月赛]玩游戏(NTT,生成函数) 题面 Luogu 题解 看一下要求的是什么东西 \((a_x+b_y)^i\)的期望.期望显然是所有答案和的平均数. 所以求出所有的答案就在乘一个逆元就好了. 现在考虑怎么算上面那个东西. 对于单个的计算,我们可以用二项式定理直接展开 得到 \[\begin{aligned}\sum(a+b)^k&=\sum\sum_{i=0}^kC_k^ia^ib^{k-i}\\&=\sum_{i=0}^kC_k^i(\sum a^i)(\sum b^{k-i…

[luogu]P1070 道路游戏 题目描述小新正在玩一个简单的电脑游戏.游戏中有一条环形马路,马路上有 n 个机器人工厂,两个相邻机器人工厂之间由一小段马路连接.小新以某个机器人工厂为起点,按顺时针顺序依次将这 n 个机器人工厂编号为1~n,因为马路是环形的,所以第 n 个机器人工厂和第 1 个机器人工厂是由一段马路连接在一起的.小新将连接机器人工厂的这 n 段马路也编号为 1~n,并规定第 i 段马路连接第 i 个机器人工厂和第 i+1 个机器人工厂(1≤i≤n-1),第 n 段马路连接第…