定积分中值定理: 积分自身的定义是简单的,但是在教学过程中人们往往记得的只是它的计算方法,在引入积分的概念的时候,往往就将其与计算方法紧密的捆绑在一起,实际上,在积分简单的定义之下,微积分基本定理告诉了我们积分的计算方法. 微积分基本定理: 能够看到,正是基于这样一个基本定理,我们才能够找到积分的计算方法,从这个角度就可以充分的理解为什么求积分的过程实际上是一个求“反导数”(求导的逆运算)的过程了.…

定积分一个广泛的应用就是在求解一些“看似不规则”的几何体的体积,之所以说看似不规则,是因为不规则之下还是有一定的“规则性”可言的,我们就是需要抓住这些线索进行积分运算得到体积. 方法1:切片法. 这里由于处理的方法思想和典型的离散的黎曼和到连续的积分的过程类似,因此这里不再重复推导,直接给出如何应用以及实例. 基于这条定理,我们能够直接介绍一下卡瓦列里原理.卡瓦列里原理表明,高度相同并且在每个高度上的横截面积相同的几何体的体积相同,直观的理解,就像下面这两堆“叠硬币”图. 下面我们看一些实例.…

这一章节讨论积分的定义以及微积分基本定理. 笔者先前在数学证明专栏中关于高斯定理的证明的开头,给出了一段关于微积分思想的概括,文中提到根据导数(微分)的定义,根据其逆定义来给出积分的定义和计算方法,这里其实是及其不严谨的,积分本身有着自己的定义,而其计算方法正是微积分基本定理所呈现出来的东西. 积分的定义: 积分的现代定义的本质就是黎曼和,笔者之前关于多重积分定义的引入其实就已经提到过,这里是对一维的积分进行定义,相对二重.三重积分则会简单很多. 理论总是源于实际问题嘛,在解决曲线和坐标系围成的…

所谓微分法其实就是我们所熟悉的导数,它是一种无限分割的方法,同积分法一样,它们是处理曲线和曲面的有利工具,也是一门很伟大的自然语言.微分方程就是一种名副其实的描述自然的语言. 同样这里如果取单侧导数,那么能够证明该点单侧具有连续型.通过原命题与逆否命题的等价性我们也能够看到,函数在某处不连续,在该处必然不可导.…

Q:定义p级数有如下形式,讨论p级数的敛散性.(p>o) 我们以p = 1作为分界点,因为实践表明这个分界点是最优区分度的.那么下面我们进行分情况讨论. 在这之前,我们有必要先引入一个检验敛散性的方法——积分检验法. 所谓积分检验法,就是将级数的通项看成一个函数表达式,而求解无穷级数也就是求解无穷项的和的时候,其实恰恰对应着函数求积分的过程,因此我们在判断无穷级数敛散性的时候,我们可以借助积分这个工具来进行间接的判断.给出下面的图便一目了然. 原则上这个方法的正确性是需要证明的,在<托马斯大学…

前言:其实无穷序列和无穷级数和数列{an}以及我们接触微积分就给出的极限概念lim有着紧密的联系,它对于我们在具体的问题当中进行建模和数据分析有着非常重要的作用. 无穷序列: 最简单的一种说法,就是一个有无限项的数列{an}.由于其项数无限,我们就可以去分析随着数列下标n的增加,an的敛散性,这就和极限联系了起来.包括极限的运算法则夹层定理,在这里都有用武之地. 无穷级数: 一个很简单的说法,就是将无穷序列加和,然后分析其敛散性. 在不同的实际工程问题中我们将会面临不同的无穷级数,因此在这之前数…

点积.向量夹角: 无论对于空间向量还是平面向量,我们所熟知的是:给出任意两个向量,我们都能够根据公式计算它们的夹角,但是这个夹角必须是将两个向量的起点重合后所夹成的小于等于π的角,可是,这是为什么呢? 它其实来源于如下的定理(这里的定理和证明过程以三维向量为例,对于二维向量,可做完全一致的推导): 证明: 考虑在如下的一个三角形中. 通过这个定理的证明过程就能够理解:为什么我们求向量夹角用点积:两个向量之间的点积为什么等于两个向量模长再乘以夹角的余弦值:为什么我们求出来的角是起点重合的两个向量夹…

极坐标系下的面积: 在直角坐标系下一样,这里在极坐标系下,我们面临一个同样的问题:如何求解一个曲线围成的面积?虽然两种情况本质上是一样的,但是还是存在一些细小的区别. 在直角坐标系下中,我们是讨论一条曲线和x轴围成的封闭的曲边梯形的面积.而极坐标系下,我们讨论一条曲线的两个端点与极坐标原点的线段加上该曲线连成的图形的面积. 如下图所示. 笛卡尔系下我们求曲边梯形的面积是用小矩形的面积逼近 而在极坐标系下我们用小扇形的面积进行逼近 极坐标系下曲线的长度: 这里结合之前我们在平面笛卡尔系得到结论:…

写在前面:写在前面的当然是对大天朝教材的吐槽啦. 曾记否,高中所学虚数和复平面的概念,如此虚无的概念到了大学一门叫<模拟电子技术>的课程中居然明目张胆的开始进行计算! 曾记否,高中的指对运算,他们老师由于不想说话就向我们扔了一个自然对数e! 其实很多人觉得数学抽象.晦涩而且无章可循,其实这都是假想,如果真的有这种感觉,很大程度上是教科书在编排顺序上有瑕疵.数学本身是语言,描述自然的语言,因此在每个概念.公式的背后,往往都需要(或者说必然)对应着现实模型,因此在学习新的概念的时候,考察它的现实意…

基于基本的极限分析方法(诸多的无穷小以及洛必达法则),我们能够得到推导出一些表面上看不是那么显然的式子,这些极限恒等式往往会在其他的推导过程中用到,其中一个例子就是概率论中的极限定理那部分知识.…