平面上$2n$个点$(n>1,n\in N)$,无三点共线,任意两点连线段,将其中任意$n^2+1$条线段染红色. 求证:三边都为红色的三角形至少有$\left[\dfrac{2}{3}(n+\dfrac{1}{n})\right]$ 个. 证明:这里染红色的线段看成边,设第$k$个顶点 $v_k$ 引出的边有 $d_k$ 条 $(k=1,2,\cdots,2n)$. 记所有的边组成的集合为 $E$.若$v_iv_j\in E$,则$v_i,v_j$ 向其余$2n-2$个顶点引出$d_i+d_j…

此讲适合参加全国联赛二试的同学 介绍图论和我们学习的一般的知识点比如函数一样,首先要介绍一些定义,只是图论里的定义相对较多,这里给出部分在竞赛中常用到的: 就像学函数的时候,学了定义和相关概念后我们要学一些性质,比如单调性等等.这里也给出几个图论的竞赛中常见的相关定理: 从这个定理马上可以得出: 注解[1]:平面图必须满足上面边和顶点的关系,在顶点给定时边的数目不能太多.但不是说满足上面式子的就一定是平面图.比如$K_{3,3}$是非平面图,但$n=6,m=9$满足上面的式子. 注解[2]:$K…

此讲是纯粹竞赛,联赛二试题难度.仅供学有余力的学生看看.…

评:如果说零点存在定理是"只在此山中,云深不知处"的意境.那么斯图姆定理就能处理多项式的零点个数以及定位.…

大意: 求a->b最短路长度为m的n节点树的个数, 边权全部不超过m 枚举$a$与$b$之间的边数, 再由拓展$Caylay$定理分配其余结点 拓展$Caylay$定理 $n$个有标号节点生成k棵树的森林, 且给定$k$个点各属于$k$棵树的方案数为$kn^{n-k-1}$ 可以得到有$x$条边的方案数为$\binom{m-1}{x-1}\binom{n-2}{x-1}(x-1)!m^{n-1-x}(x+1)n^{n-x-2}$ int n, m; ll fac[N], ifac[N]; ll…

Friend-Graph Time Limit: 10000/5000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 2492    Accepted Submission(s): 1121 Problem Description It is well known that small groups are not conducive of the development of…

拉姆齐(Ramsey)定理是要解决以下的问题:要找这样一个最小的数n,使得n个人中必定有k个人相识或l个人互不相识 我们所知道的结论是这样的 6 个人中至少存在3人相互认识或者相互不认识. 该定理等价于证明这6个顶点的完全图的边,用红.蓝二色任意着色,必然至少存在一个红色边三角形,或蓝色边三角形 HDU6152 给出 n 个人之间的关系,如果其中有三个人互相认识或者互相不认识,则输出 Bad Team! ,否则输出 Great Team! 当人数大于等于 6 时其结果一定是 Bad Team!…

运用矩阵树定理进行生成树计数 给定一个n个点m条边的无向图,问生成树有多少种可能 直接套用矩阵树定理计算即可 矩阵树定理的描述如下: 首先读入无向图的邻接矩阵,u-v G[u][v]++ G[v][u]++ 度数矩阵: u-v D[u][u]++ D[v][v]++; 然后计算图G的基尔霍夫矩阵 C=D-G 接着去掉基尔霍夫矩阵的第i行和第i列(必须都是i,i取任意值) 计算剩下的子矩阵的行列式的值得绝对值即为生成树个数 然后对于有向图来说: 边 u->v G[u][v]++ 然后是D[v][v…

BZOJ1430:运用Cayley定理解决树的形态统计问题 由Prufer编码可以引申出来一个定理:Cayley 内容是不同的n结点标号的树的数量为n^(n-2) 换一种说法就是一棵无根树,当知道结点总数的时候,其最多可能有n^(n-2)种形态 这只是形态而已 对于BZOJ1430这道题 题目的打架关系可以用无根树来描述 除了形态之外,还要考虑打架的顺序,一共(n-1)!种 乘起来即可 #include<cstdio> ; int n; ; int main() { scanf("%…

传送门 Description 有N个点(N<=40)标记为0,1,2,...N-1,每个点i有个价值val[i],如果val[i]=-1那么这个点被定义为bad,否则如果val[i] >=0那么这个点为定义为good.现在给这N个点间连上N-1条边,使它们构成一个生成树,定义树中的点为great点当且仅当这个点本身是good点且与其相邻的点中至少有另一个good点.树的价值等于树中所有great点的价值和.定义限制价值树是指价值不大于maxVal的树,问对给定的val[]与maxVal,一共…