\(\mathcal{Description}\)   Link.   称排列 \(\{p_n\}\) 美妙,当且仅当 \((\forall i\in[1,n))(\max_{j\in[1,i]}\{p_i\}>\min_{j\in(i,n]}\{p_j\})\).求长度为 \(n\) 的美妙排列个数.多测.   \(n\le10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   讨论这道题的时候--打表,然后发现了 A003319!/xyx   显然 \(f(0)=0,f(1)=1\…

题目 我们发现我们得正难则反 还是设\(f_i\)表示长度为\(i\)的序列个数 考虑容斥 \[f_i=i!-\sum_{j=1}^{i-1}f_j(i-j)!\] \(i!\)显然是总方案数,我们减掉不合法的方案数,显然\(1\)到\(j\)这些数强行合法,之后\(j+1\)到\(i\)在后面自由排列,由于在\(j\)后面这个位置没有一个数比之前的小,所以一定不合法,同时通过首次不合法的位置区分开不同的序列,从而做到不重不漏 但是上面有一个小问题就是\(f_0=0\),但是按照上面的递推数列来…

\(\mathcal{Description}\)   Link & 双倍经验 Link.   给定一棵 \(n\) 个结点的树,每个结点有一种颜色.记 \(g(u,v)\) 表示 \(u\) 到 \(v\) 简单路径上的颜色种数,求 \[\sum_{\{p_n\}}\sum_{i=1}^{n-1}g(p_i,p_{i+1}) \]   其中 \(\{p_n\}\) 表示 \(1\sim n\) 的排列.   \(n\le10^5\),答案对 \((10^9+7)\) 取模. \(\mathca…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   令 \(f\) 为 \(\text{Fibonacci}\) 数列,给定 \(\{a_n\}\),求: \[\operatorname{lcm}\{f_{a_1},f_{a_2},\cdots,f_{a_n}\}\bmod(10^9+7) \]   \(n\le5\times10^4\),\(a_i\le10^6\). \(\mathcal{Solution}\)   你得知道: \[\gcd(f_i,f_j)=f_{\gc…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   令 \(\sigma(n)\) 为 \(n\) 的约数之和.求: \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\max\{i,j\}\sigma(ij)\bmod(10^9+7) \]   多测,\(n\le10^6\),数据组数 \(\le5\times10^4\). \(\mathcal{Solution}\)   直 接 来 owo! \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\max\{i,j\}\…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定整数序列 \(\{a_n\}\),对于整数序列 \(\{b_n\}\),\(b_i\) 在 \([1,a_i]\) 中等概率随机.求 \(\{b_n\}\) 中 LIS(最长上升子序列)的期望长度.对 \(10^9+7\) 取模.   \(n\le6\),\(a_i\le10^9\). \(\mathcal{Solution}\)   欺负这个 \(n\) 小得可爱,直接 \(\mathcal O(n!)\) 枚举 \(…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定一个长为 \(n\) 的非负整数序列 \(\lang a_n\rang\),你可以进行如下操作: 取 \([l,r]\),将其中所有 \(a\) 值 \(-1\): 取 \([l,r]\),将其中奇数下标的 \(a\) 值 \(-1\): 取 \([l,r]\),将其中偶数下标的 \(a\) 值 \(-1\).   求至少需要几次操作使得所有 \(a\) 值变为 \(0\).   \(n\le10^5\),数据组数 \(…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   有 \(n\) 张卡牌,第 \(i\) 张的权值 \(w_i\in\{1,2,3\}\),且取值为 \(k\) 的概率正比于 \(p_{i,k}\).依照此规则确定权值后,你不停抽卡,每次抽到第 \(i\) 张卡牌的概率正比于 \(w_i\),直到所有卡都被抽过至少一次.   此后,记 \(t_i\) 表示第 \(i\) 张牌第一次被抽到的时间.给定 \(n-1\) 条形如 \(\lang u,v\rang\) 的限制,表示…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定含 \(n\) 个点 \(m\) 条边的简单有向图 \(G=(V,E)\),求 \(H=(V,E'\subseteq E)\) 的数量,使得 \(H\) 是强连通图.答案模 \((10^9+7)\).   \(n\le15\). \(\mathcal{Solution}\)   仙气十足的状压容斥.   令 \(f(S)\) 表示仅考虑点集 \(S\) 的导出子图时,使得 \(S\) 强连通的选边方案数,那么 \(f(V…

\(\mathcal{Description}\)   Link. 做题原因:题目名.   给定一个长度 \(n-1\) 的序列 \(\{a_2,a_3,\cdots,a_n\}\),其描述了一棵 \(n\) 个点的有根树-- \(1\) 为根节点,\(i~(i\in(1,n])\) 结点的父亲是 \(a_i~(a_i\in[1,i))\).接下来有 \(q\) 次操作: 给定 \(l,r,x\),\(\forall i\in[l,r],~a_i\leftarrow \max\{a_i-x,1\…