(From:离殇灬孤狼) 这个Lucas定理是解决组合数的时候用的,当然是比较大的组合数了.比如C(1000000,50000)% mod,这个mod肯定是要取的,要不算出来真的是天文数字了. 对于一个组合数C(n,k),它等于 n! / ( k! * ( n - k)! ) 我们要求一个mod.但是我们知道的同余定理是在 + - * 这三个运算中使用的,对于除法我们不能轻易的使用同余定理.如果我们能把除数(分母)转化为一个乘法就好了,这个时候我们就用到了逆元的知识: 这就开始说逆元了: 定义:…

Lucas定理 [原文]2017-02-14 [update]2017-03-28 Lucas定理 计算组合数取模,适用于n很大p较小的时候,可以将计算简化到小于p $ \binom{n}{m} \mod p , p  is  prime$ $ n= n_k * p ^ k + n_{k-1} * p^{k-1}+ ... + n_2 * p^2 + n_1 * p + n_0 $ $ m=m_k * p ^ k +m_{k-1} * p^{k-1}+ ... +m_2 * p^2 +m_1 *…

lucas定理 p为素数 \[\dbinom n m\equiv\dbinom {n\%p} {m\%p} \dbinom {n/p}{m/p}(mod p)\] 左边一项直接求,右边可递归处理,不包含求组合数复杂度是\(log_p(m)\) 证明 我们记\(n=sp+q,m=tp+r,(q,r<p)\) \[\dbinom {sp+q} {tp+r} \equiv \dbinom {s} {t} \dbinom {q} {r} (mod p)\] 有这么一个性质\(\binom p d\equ…

Codeforces Round #258 (Div. 2) Devu and Flowers E. Devu and Flowers time limit per test 4 seconds memory limit per test 256 megabytes input standard input output standard output Devu wants to decorate his garden with flowers. He has purchased n boxes…

题目大概问小于等于m个的物品放到n个地方有几种方法. 即解这个n元一次方程的非负整数解的个数$x_1+x_2+x_3+\dots+x_n=y$,其中0<=y<=m. 这个方程的非负整数解个数是个经典问题,可以+1转化正整数解的个数用插板法解决:$C_{y+n-1}^{n-1}=C_{y+n-1}^y$. 而0<=y<=m,最后的结果就是—— $$\sum_{i=0}^m C_{i+n-1}^i$$ $$C_{n-1}^0+C_{n}^1+C_{n+1}^2+\dots+C_{n-1…

大致意思就是求组合数C(n , m) % p的值, p为一个偶数 可以将组合数的n 和 m都理解为 p 进制的表示 n  = ak*p^k + a(k-1)*p^(k-1) + ... + a1*p + a0 m = bk*p^k + b(k-1)*p^(k-1) + ... + b1*p + b0 然后C(n,m)%p = C(ak , bk) * C(a(k-1) , b(k-1)) * ... * C(a1 , b1) * C(a0 , b0) % p 当然这其中出现 ai < bi的情况…

(1)Lucas定理:p为素数,则有: (2)证明: n=(ak...a2,a1,a0)p = (ak...a2,a1)p*p + a0 =  [n/p]*p+a0,m=[m/p]*p+b0其次,我们知道,对任意质数p有(1+x)^p=1+(x^p)(mod p) .我们只要证明这个式子:C(n,m)=C([n/p],[m/p]) * C(a0,b0)(mod p),那么就可以用归纳法证明整个定理.对于模p而言,我们有下面的式子成立: 上式左右两边的x的某项x^m(m<=n)的系数对模p同余.其…

(1)Lucas定理:p为素数,则有: (2)证明: n=(ak...a2,a1,a0)p = (ak...a2,a1)p*p + a0 =  [n/p]*p+a0,m=[m/p]*p+b0其次,我们知道,对任意质数p有(1+x)^p=1+(x^p)(mod p) .我们只要证明这个式子:C(n,m)=C([n/p],[m/p]) * C(a0,b0)(mod p),那么就可以用归纳法证明整个定理.对于模p而言,我们有下面的式子成立: 上式左右两边的x的某项x^m(m<=n)的系数对模p同余.其…

方便复制 快速乘/幂 时间复杂度 \(O(\log n)\). ll nmod; //快速乘 ll qmul(ll a,ll b){ ll l=a*(b>>hb)%nmod*(1ll<<hb)%nmod; ll r=a*(b&((1<<hb)-1))%nmod; return (l+r)%nmod; } //快速幂 ll qpow(ll a,ll b){ ll res=1; while(b){ if(b&1)res=res*a%nmod; a=a*a%n…

从这里开始 一个有趣的问题 扩展Lucas算法 一个有趣的问题 题目大意 给定$n, m, p$,求$C_{n}^{m}$除以$p$后的余数. Subtask#1  $0\leqslant m\leqslant n \leqslant 2\times 10^{3}$ 直接杨辉恒等式$C_{n}^{m} = C_{n - 1}^{m - 1} + C_{n - 1}^{m}$递推. 时间复杂度$O(n^{2})$. Subtask#2  $0\leqslant m\leqslant n \leqs…