前言 为什么叫学习小记呢?因为暂时除了模板题就没有做其他的东西了.(雾 这个东西折磨了我一整天,看得我身不如死,只好结合代码理解题解,差点死在机房.(话说半天综合半天竞赛真是害人不浅) 为了以后忘了再受荼毒,这里还是写一下,如果有人会看到的话,希望可以帮助到吧.(话说这个东西我已经拖了好久了啊!!!) (话说我怎么这么多话说啊?!!) Min_25 筛 这个东西是由聚聚\(\texttt{Min-25}\)发明了,所以我们称之为\(\texttt{Min-25}\)筛.(感觉有点民科了)那就不废…

min_25筛 由 dalao min_25 发明的筛子,据说时间复杂度是极其优秀的 \(O(\frac {n^{\frac 3 4}} {\log n})\),常数还小. 1. 质数 \(k\) 次方前缀和(基础) 求 \(\sum_{p \leq n}p^k\) 我们考虑一个 \(\rm DP\) 的思路:设 \(g(n,j)\) 为: \[\sum_{i=1}^n[(\sum_{t=1}^j[p_t|i])=0] i^k \] 其实就是不大于 \(n\) 的,且不含有 \(p_1\) ~…

传送门. 题解 感觉这题最难的是第一个结论. x/y首先要互质,然后如果在10进制是纯循环小数,不难想到y不是2.5的倍数就好了. 因为十进制下除以2和5是除得尽的. 必然会多出来的什么东西. 如果是k进制,可以类比得gcd(y,k)=1. 证明: 假设纯循环的位数是l 则\(x*k^l\equiv x(mod~y)\) \(k^l\equiv 1(mod~y)\) 要存在l的话,就必须有\(gcd(k,y)=1\),反过来一样. 反演: \(Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}…

Min_25 筛这个东西,完全理解花了我很长的时间,所以写点东西来记录一些自己的理解. 它能做什么 对于某个数论函数 \(f\),如果满足以下几个条件,那么它就可以用 Min_25 筛来快速求出这个函数的前缀和. 它是一个积性函数 对于一个质数 \(p\) ,\(f(p)\) 的表达式必须是一个项数比较小的多项式.即 \(\displaystyle f(p) = \sum a_ip^{b_i}\). 对于一个质数 \(p\) ,\(f(p^k)\) 的表达式必须可以由 \(f(p)\) 快速得到…

关于min_25筛的一些理解 如果想看如何筛个普通积性函数啥的,就别往下看了,下面没有的(QwQ). 下文中,所有的\(p\)都代表质数,\(P\)代表质数集合. 注意下文中定义的最小/最大质因子都是默认所有质因子本质不同. 即\(2*2*3*4*5*5\)的最小/次小质因子都是\(2\),最大/次大质因子都是\(5\). step1. 适用条件与思想 min_25筛用于求积性函数前缀和,即\(\sum_{i=1}^n f(i)\) . min_25筛相比于传统筛法来说(如莫比乌斯反演.杜教筛)…

题目:http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1965 考虑 \( \prod_{i=1}^{n}\sigma_0^i \) \(=\prod_{j=1}^{p_j<=n}\prod_{t=1}^{p_j^t<=n}(t+1)^{ p_j^tS(\left\lfloor\frac{n}{p_j^t}\right\rfloor) - p_j^{t+1}S(\left\lfloor\frac{n}{p_j^{t+1}}\rig…

题目:https://loj.ac/problem/6053 min_25筛:https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/9185093.html 这里把计算 s( n , j ) 需要的“质数部分的贡献”分成两部分算,令 \( g(n,j)=\sum\limits_{i=1}^{n}[i \in P or min_i > p_j]i \) , \( h(n,j)=\sum\limits_{i=1}^{n}[i \in P or min_i > p_j]1 \) ,其中 P…

题目链接 http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1965 题解 需要求的式子显然是个二合一形式,我们将其拆开,分别计算 \(\prod_\limits{i = 1}^n \sigma_0(i)^i\) 与 \(\prod_\limits{i = 1}^n \sigma_0(i)^{\mu(i)}\),再将两部分乘起来得到答案. 对于第一部分 \(\prod_\limits{i = 1}^n \sigma_0(i)^i\):…

[UOJ#188]Sanrd(min_25筛) 题面 UOJ 题解 今天菊开讲的题目.(千古神犇陈菊开,扑通扑通跪下来) 题目要求的就是所有数的次大质因子的和. 这个部分和\(min\_25\)筛中枚举最小值因子有异曲同工之妙. min_25筛什么的戳这里 并且这题并没有积性函数. 所以我们先筛出质数个数. 然后考虑如何计算答案\(S(n,1)\) 首先看初值,假设当前计算的是\(S(x,y)\) 表示的是\([1,x]\)中,所有最小质因子大于等于\(Prime_y\)的贡献 所有质数的贡献显…

P5325 [模板]Min_25筛 题目背景 模板题,无背景. 题目描述 定义积性函数$f(x)$,且$f(p^k)=p^k(p^k-1)$($p$是一个质数),求 $$\sum_{i=1}^n f(x)$$ 对$10^9+7$取模. 输入输出格式 输入格式: 一行一个整数$n$. 输出格式: 一个整数表示答案. 输入输出样例 输入样例#1: 复制 10 输出样例#1: 复制 263 输入样例#2: 复制 1000000000 输出样例#2: 复制 710164413 说明 $f(1)=1,f(…