http://baike.baidu.com/view/1101962.htm?fr=aladdin Nim游戏是博弈论中最经典的模型(之一),它又有着十分简单的规则和无比优美的结论 Nim游戏是组合游戏(Combinatorial Games)的一种,准确来说,属于“Impartial Combinatorial Games”(以下简称ICG). 通常的Nim游戏的定义是这样的:有若干堆石子,每堆石子的数量都是有限的,合法的移动是“每次一个游戏者可以从任意一堆中拿走至少一颗石子,也可以整堆拿走…

描述 Matrix67和Shadow正在做一个小游戏. 桌子上放着两堆糖果,Matrix67和Shadow轮流对这些糖果进行操作.在每一次操作中,操作者需要吃掉其中一堆糖果,并且把另一堆糖果分成两堆(可以不相等)留给对方操作.游戏如此进行下去,糖果数会越来越少,最后必将出现这样一种情况:某人吃掉一堆糖果后发现另一堆里只剩一块糖果不能再分了.游戏规定此时该操作者吃掉最后这一块糖果从而取胜. 这个游戏是不公平的.对于任意一种初始状态,总有一方有必胜策略.所谓有必胜策略是指,无论对方如何操作,自己总有…

题目链接: 1661 黑板上的游戏 Alice和Bob在黑板上玩一个游戏,黑板上写了n个正整数a1, a2, ..., an,游戏的规则是这样的:1. Alice占有先手主动权.2. 每个人可以选取一个大于1的数字擦去,并写上一个更小的数字,数字必须是整数,然后由对方进行下一次操作.3. 如果擦去的数字是 x (x > 1) ,则写上的数字不能比 x/k 小,但是要比 x 小.这里的除法为有理数除法.4. 不可以擦去任何一个数字 1 ,如果当前无法找到一个数字进行操作,则当前方输.假设Alice…

题意:针对Nim博弈,给定上一个集合,然后下面有 m 个询问,每个询问有 x 堆石子 ,问你每次只能从某一个堆中取出 y 个石子,并且这个 y 必须属于给定的集合,问你先手胜还是负. 析:一个很简单的博弈,对于每组数据,要先处理出SG函数, 然后使用组合游戏和来解决就ok了,对于求sg函数,很明显,就是求所有的mex,也就是未出现过的最小自然数.最后取异或就ok了. 代码如下: #pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000"…

浅谈公平组合游戏IGC IGC简介 一个游戏满足以下条件时被叫做IGC游戏 (前面三个字是自己YY的,不必在意) 竞争性:两名玩家交替行动. 公平性:游戏进程的任意时刻,可以执行的操作和操作者本人无关. 唯一性:不能行动的玩家判负,不存在平局. NIM游戏 内容 给定\(n\)堆石子,每堆有\(a_i\)个石头.规则是拿最后那块石头的人赢,(或者说没有石头拿的人输).每次没人只能选择一堆石子并拿走,拿走多少不做限制,但是不能不拿.两人交替行动.问先手是否必胜. 定理 一个局面先手必胜,当且仅当(…

在介绍SG函数和SG定理之前我们先介绍介绍必胜点与必败点吧. 必胜点和必败点的概念:        P点:必败点,换而言之,就是谁处于此位置,则在双方操作正确的情况下必败.        N点:必胜点,处于此情况下,双方操作均正确的情况下必胜. 必胜点和必败点的性质:         1.所有终结点是 必败点 P .(我们以此为基本前提进行推理,换句话说,我们以此为假设)         2.从任何必胜点N 操作,至少有一种方式可以进入必败点 P.         3.无论如何操作,必败点P 都…

SG函数 为了更一般化博弈问题,我们引入SG函数 SG函数有如下性质: 1.如果某个状态SG函数值为0,则它后继的每个状态SG函数值都不为0 2.如果某个状态SG函数值不为0,则它至少存在一个后继的状态SG函数值为0 如果某个局面SG函数值为0,则该局面先手必败 放到有向图中,该有向图的核就是SG值为0的点构成的集合 游戏的和 游戏的和的SG函数值=所有子游戏SG函数值的异或和Xor 如果所有子游戏都进行完毕,那么Xor=0,必败 如果某个状态的SG函数值为0,那么后手一定可以做出一种动作,保持…

目录 预备知识 普通的Nim游戏 SG函数 预备知识 公平组合游戏(ICG) 若一个游戏满足: 由两名玩家交替行动: 游戏中任意时刻,合法操作集合只取决于这个局面本身: 若轮到某位选手时,若该选手无合法操作,则这名选手判负: 则称该游戏为一个公平组合游戏. Nim游戏 有若干堆石子,每堆石子的数量都是有限的,合法的移动是"选择一堆石子并拿走若干颗(不能不拿)",如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了,则判负(因为他此刻没有任何合法的移动). mex(minimal exdudant…

题目链接 题意 给定一个 \(DAG\),每个边的权值为一个字母.两人初始各占据一个顶点(可以重合),轮流移动(沿着一条边从一个顶点移动到另一个顶点),要求每次边上的权值 \(\geq\) 上一次的权值.无法移动者输. 要求:对所有可能的初始情况,给出一张胜负表. 思路 特殊情况 两人在同一个顶点上,那么必然是先手输: 如果有\(u\rightarrow v\)边,并且先手在 \(u\) 上,后手在 \(v\) 上,且先手此时可以移动(判断边的权值),那么必然是先手赢 一般情况 考虑用 \(dp…

具体看:萌新笔记之Nim取石子游戏可以这么写: #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; int bit[35]; void solve(int n) { int num=0; while(n) { n%2==1?bit[num]++:bit[num]; n/=2; num++; } } int main() { int n,x; scanf("%d",&n); memse…