[BZOJ4671]异或图 - xjr01 - 博客园 考虑先算一些限制少的情况 gi表示把n个点的图,划分成i个连通块的方案数 连通块之间不连通很好处理(怎么处理看下边),但是内部必须连通,就很难办了 所以再降低条件,fi表示,把n个点的图,划分成i个"连通块",保证连通块之间不会有边相连,但是内部可以不连通的方案数 fi计算方法如下: 用Bell(n)的复杂度枚举集合划分,然后相邻集合之间不能连边, 然后考虑凑出符合这个集合划分的图有多少个,异或高斯消元,xi表示第i个图选择与否,…

[BZOJ4671]异或图(斯特林反演) 题面 BZOJ Description 定义两个结点数相同的图 G1 与图 G2 的异或为一个新的图 G, 其中如果 (u, v) 在 G1 与 G2 中的出现次数之和为 1, 那么边 (u, v) 在 G 中, 否则这条边不在 G 中. 现在给定 s 个结点数相同的图 G1...s, 设 S = {G1, G2, . . . , Gs}, 请问 S 有多少个子集的异 或为一个连通图? Input 第一行为一个整数s, 表图的个数. 接下来每一个二进制串…

题目 [BZOJ4671]异或图 很有意思的题 做法 直接处理显然很难,我们考虑范围扩大以求容斥或反演这类的帮助 \(f_i\)表示至少有\(i\)个联通块的方案,形如设立\(i\)个联通块轮廓,联通块内连边随意,联通块与联通块之间无连边 \(g_i\)表示恰好有\(i\)个联通块的方案,形如设立\(i\)个联通块轮廓,在保证内部联通的情况下,外部块与块间无连边 显然:\[f_x=\sum\limits_{i=x}^n\begin{Bmatrix}i\\x\end{Bmatrix}g_i\] 根…

bzoj4671 异或图(斯特林反演,线性基) 祭奠天国的bzoj. 题解时间 首先考虑类似于容斥的东西. 设 $ f_{ i } $ 为至少有 $ i $ 个连通块的方案数, $ g_{ i } $ 为正好有 $ i $ 个连通块的方案数. 那么有 \[f_{ m } = \sum\limits_{ i = m }^{n} \begin{Bmatrix} i \\ m \end{Bmatrix} g_{ i } \] 斯特林反演就有 \[g_{ 1 } = \sum\limits_{ i =…

传送门 题意: 给出\(s,s\leq 60\)张图,每张图都有\(n,n\leq 10\)个点. 现在问有多少个图的子集,满足这些图的边"异或"起来后,这张图为连通图. 思路: 直接考虑判断图的连通不好判断,所以考虑枚举连通块来进行容斥. 定义\(f_i\)表示有\(i\)个连通块的答案,发现连通块这个东西也不好处理,我们只能处理出有多少个连通块,但无法确定每个连通块内部的连通关系. 定义\(g_i\)为至少有\(i\)个连通块的方案数,那么就有关系式:\(\displaystyle…

题意 给出一个 \(n × m\) 大小的矩形,每个位置可以填上 \([1, c]\) 中的任意一个数,要求填好后任意两行互不等价且任意两列互不等价,两行或两列等价当且仅当对应位置完全相同,求方案数 . \(n, m \le 5000\) 题解 这题是 Wearry 出的神题,根本不会做...把题解搬过来了. 首先我们有一个很简单的方式使得列之间互不等价,对于任意一列,总方案数是 \(c^n\) , 那么使得列与列之间互不相同的方案数为 \({(c^n)}^{\underline{m}}\) .…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4671 考虑计算不是连通图的方案,乘上容斥系数来进行容斥. 可以枚举子集划分(复杂度是O(Bell)).就是 dfs ,记录已经有了几个集合,枚举当前元素放在哪个集合里(给它标一个 id )或者当前元素自己开一个集合. 然后就有了限制:不同点集之间不能有边.本来想限制同一点集必须是连通的,但不好限制,所以就不限制了,把这部分的影响算在容斥系数里. 如果限制不同点集之间不能有边,可以考虑高斯消…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4671 首先,考虑容斥,就是设 \( t[i] \) 表示至少有 \( i \) 个连通块的方案数: 我们希望得到恰好有一个连通块的方案数,但这里不能直接 \( + t[1] - t[2] + t[3] - t[4] ... \),因为每个“恰好 \( i \) 个连通块”的情况并不是在各种 \( t[j] ( j<=i ) \) 中只被算了一次,而是因为标号,被算了 \( S(i,j) \…

不知道咕了多长时间的题... 讲了3遍,还是自己搞懂了.. 暂时没有找到题目链接 题意: n×m的网格,每个格子填[1,x]的数,使得不存在两行两列同构. 先保证一个,行相同. 再容斥掉列. 枚举至多可以分成k个等价类.S表示第二类斯特林数 $ans=\sum_{k=1}^{m}C(x^k,n)\times S(m,k)\times (-1)^{m-k}$ 为了使得每个方案,假设有t个实际列的等价类,使得被统计的$2^{m-k}$(就是每个相邻的列能否合并成一个等价类)配上系数,$\sum_{i…

第一类斯特林数 定义 第一类Stirling数\(s(n,m)\),也可记为\(\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}\). 第一类Stirling分为无符号第一类Stirling数\(s_u(n,m)\)和带符号第一类Stirling数\(s_s(n,m)\). 他们分别表现为其升阶函数和降阶函数的各项系数,形式如下: \[ x^{n\downarrow}=x\cdot (x-1)\cdot (x-2)\cdots (x-n+1)=\sum_{k=0}^ns_s(n,…