[BZOJ 2154]Crash的数字表格(莫比乌斯反演+数论分块) 题面 求 \[\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \mathrm{lcm}(i,j)\] 分析 \[\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \mathrm{lcm}(i,j)\] \[=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \frac{i j}{\mathrm{gcd}(i, j)}\] \[=\sum_{g=1}^{n} \sum_{i=1}^{n/g} \s…

题目描述 TTT组数据,给出NNN,MMM,求∑x=1N∑y=1Mlim(x,y)\sum_{x=1}^N\sum_{y=1}^M lim(x,y)\newlinex=1∑N​y=1∑M​lim(x,y) N,M<=10000000T<=10000N,M <= 10000000\newline T<= 10000N,M<=10000000T<=10000 题目分析 直接开始变换,假设N<M Ans=∑x=1N∑y=1Mxy(x,y)=∑T=1N1T∑x=1N∑y=…

2154: Crash的数字表格 Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 259 MBSubmit: 2924  Solved: 1091[Submit][Status][Discuss] Description 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数.例如,LCM(6, 8) = 24.回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究…

求$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n lcm(i,j)$ 枚举因数 $ans=\sum_{d<=n} F(d) * d$ $F(d)$表示给定范围内两两$\sum_{gcd(i,j)=d} i*j $ 令$f(p)=Sum(\lfloor n/p \rfloor) Sum(\lfloor m/p \rfloor) * p^2$ 那么 $f(i)=\sum_{i \mid n}F(n)$ 反演得到$F(i)=\sum_{i \mid n} \mu(n/i) f(n)$ 那么我们代入…

[题意]给定n,m,求Σlcm(i,j),1<=i<=n,1<=j<=m,n,m<=10^7. [算法]数论(莫比乌斯反演) [题解] $$ans=\sum_{i\leq n}\sum_{j\leq m}\frac{i*j}{gcd(i,j)}$$ $$ans=\sum_{d\leq min(n,m)}1/d\sum_{i\leq n}\sum_{j\leq m}[gcd(i,j)=d]i*j$$ $$ans=\sum_{d\leq min(n,m)}d\sum_{i\leq…

考虑到\(lcm(i,j)=\frac{ij}{gcd(i,j)}\) \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\frac{ij}{gcd(i,j)}\) \(\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)==d]\frac{ij}{d}\) \(\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[gcd(i,j)==1]{ijd}\) \(=\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^…

BZOJ 2154 crash的数字表格 Description 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数.例如,LCM(6, 8) = 24.回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究最小公倍数,他画了一张N*M的表格.每个格子里写了一个数字,其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j).一个4*5的表格如下: 1 2 3 4 5 2 2 6 4…

2154: Crash的数字表格 Time Limit: 20 Sec Memory Limit: 259 MB Description 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数.例如,LCM(6, 8) = 24.回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究最小公倍数,他画了一张N*M的表格.每个格子里写了一个数字,其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(…

Description 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数.例如,LCM(6, 8) = 24.回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究最小公倍数,他画了一张N*M的表格.每个格子里写了一个数字,其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j).一个4*5的表格如下: 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12…

题目描述 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数.例如,LCM(6, 8) = 24.回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究最小公倍数,他画了一张N*M的表格.每个格子里写了一个数字,其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j).一个4*5的表格如下: 1  2  3  4  5 2  2  6  4  10 3  6  3  12 15 4…

题链: http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2154 题解: 莫比乌斯反演. 题意还是很清楚的,就不赘述了. 显然有 $ANS=\sum_{i=1\;j=1}^{n\;m} lcm(i,j)$ 化为较为熟悉的gcd形式: $\quad\quad=\sum_{i=1\;j=1}^{n\;m} \frac{i \times j}{gcd(i,j)}$ 令$g$为gcd的值,$F(n,m)=\sum i\times j,满足1\leq i \…

Description 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数.例如,LCM(6, 8) = 24.回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究最小公倍数,他画了一张N*M的表格.每个格子里写了一个数字,其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j).一个4*5的表格如下: 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12…

题目链接:http://61.187.179.132/JudgeOnline/problem.php?id=2154 题意: 思路: i64 mou[N]; void init(int N){    i64 i,j;    for(i=2;i<=N;i++) if(!mou[i])    {        mou[i]=i;        for(j=i*i;j<=N;j+=i) mou[j]=i;    }    mou[1]=1;    for(i=2;i<=N;i++)    { …

题意:求\(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m\frac{i*j}{gcd(i,j)}\) 题解:\(ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m \frac{i*j}{gcd(i,j)}\) \(=\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d} \rfloor}i*j[gcd(i,j)==1]\) \(=\sum_{d=1}^{…

求: \(S(n,m)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}lcm(i,j)\) 显然: \(S(n,m)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\frac{ij}{gcd(i,j)}\) 枚举g: \(S(n,m)=\sum\limits_{g=1}^{n}\frac{1}{g}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}ij[gcd(i,j)==g]\) 除以…

2154: Crash的数字表格 Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 259 MBSubmit: 3372  Solved: 1258[Submit][Status][Discuss] Description 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数.例如,LCM(6, 8) = 24.回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究…

[BZOJ 2820] YY的gcd(莫比乌斯反演+数论分块) 题面 给定N, M,求\(1\leq x\leq N, 1\leq y\leq M\)且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对.q组询问 分析 我们要求的是 \[\sum_{p \in P} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m [gcd(i,j)=p]\](大写P表示质数集合) 根据\(kgcd(i,j)=gcd(ki,kj)\), \[原式=\sum_{p \in P} \sum_{i=1}^{\lfloo…

数字表格 Time Limit: 50 Sec  Memory Limit: 128 MB[Submit][Status][Discuss] Description Doris刚刚学习了fibonacci数列.用f[i]表示数列的第i项,那么 f[0]=0 f[1]=1 f[n]=f[n-1]+f[n-2],n>=2 Doris用老师的超级计算机生成了一个n×m的表格,第i行第j列的格子中的数是f[gcd(i,j)],其中gcd(i,j)表示i,j的最大公约数.Doris的表格中共有n×m个数,…

题目描述 Doris刚刚学习了fibonacci数列.用f[i]表示数列的第i项,那么 f[0]=0 f[1]=1 f[n]=f[n-1]+f[n-2],n>=2 Doris用老师的超级计算机生成了一个n×m的表格,第i行第j列的格子中的数是f[gcd(i,j)],其中gcd(i,j)表示i, j的最大公约数.Doris的表格中共有n×m个数,她想知道这些数的乘积是多少.答案对10^9+7取模. 输入 有多组测试数据. 第一个一个数T,表示数据组数. 接下来T行,每行两个数n,m T<=100…

[Sdoi2017]数字表格 题意:求 \[ \prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^m f[(i,j)] \] 考场60分 其实多推一步就推倒了... 因为是乘,我们可以放到幂上 \[ \prod_{d=1}^n \prod_{i=1}^{\frac{n}{d}}\prod_{i=1}^{\frac{m}{d}} f[d]^{[(i,j)=1]} \] 套路一直推完 \[ \prod_{D=1}^n \prod_{d|D} f[d]^{\mu(\frac{D}{d}) \cdot…

传送门 做莫比乌斯反演题显著提高了我的\(\LaTeX\)水平 推式子(默认\(N \leq M\),分数下取整,会省略大部分过程) \(\begin{align*} \prod\limits_{i=1}^N \prod\limits_{j=1}^M f[gcd(i,j)] & = \prod\limits_{d=1}^N f[d]^{\sum\limits_{i=1}^\frac{N}{d} \sum\limits_{j=1}^\frac{M}{d}[gcd(i,j)==1]} \\ &…

手动博客搬家: 本文发表于20171216 13:34:20, 原地址https://blog.csdn.net/suncongbo/article/details/78819470 URL: (Luogu)https://www.luogu.org/problem/show?pid=3455 (BZOJ)http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1101 题目大意: 有t次询问(\(t\le5e4\)), 每次给定a,b,d, 询问有多少对…

正解:莫比乌斯反演 解题报告: 传送门! 首先这题刚看到就很,莫比乌斯反演嘛,和我前面写了题解的那个一模一样的,所以这儿就不讲这前边的做法辣QAQ 但是这样儿还有个问题,就现在已知我每次都是要O(n)地做的,然后他还有Q个问题,这样复杂度显然就假了,就要想办法优化QAQ 这时候考虑到我们已经搞出来要求的式子长这样儿:∑μ(i)*⌊m/i,n/i⌋,这就很,整除分块昂! 所以预处理μ的时候顺便搞下前缀和,整除分块就能过去辣! #include<bits/stdc++.h> using names…

问题描述 BZOJ2301 LG2522 积性函数 若函数 \(f(x)\) 满足对于任意两个最大公约数为 \(1\) 的数 \(m,n\) ,有 \(f(mn)=f(m) \times f(n)\),则称 \(f(x)\) 为积性函数. 狄利克雷卷积和莫比乌斯函数 今天 zzk 神仙讲了一下狄利克雷卷积.数论分块和莫比乌斯反演. 几个数论函数 \[1(x)=1\] \[id(x)=x\] \[id^k(x)=x^k\] \[\varepsilon(x)=\begin{cases}1&x=1\\…

题目链接 大意 给定多组\(N\),\(M\),求\(1\le x\le N,1\le y\le M\)并且\(Gcd(x, y)\)为质数的\((x, y)\)有多少对. 思路 我们设\(f(i)\)表示\(Gcd(x,y)=i\)的\((x,y)\)的个数,\(F(i)\)表示\(Gcd(x,y)\%i=0\)的\((x,y)\)的个数. 那么有$$F(i)=\lfloor\frac{N}{i}\rfloor\lfloor\frac{M}{i}\rfloor=\sum_{i\mid d}f(…

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2154 题意:求$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} lcm(i, j)$, $n,m<=1e7$ #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int N=1e7+10, MD=20101009; int p[N], pcnt, n, m; bool np[N];…

题目链接 总感觉博客园的\(Markdown\)很..\(gouzhi\),可以看这的. 这个好像简单些啊,只要不犯sb错误 [Update] 真的算反演中比较裸的题了... \(Description\) 用\(f[i]\)表示\(Fibonacci\)数列的第\(i\)项,求\[\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^mf[\gcd(i,j)]\mod (10^9+7)\] \(Solution\) \[ \begin{aligned} Ans &=\prod_{i=1}^n\pr…

大力反演出奇迹. 然后xjb维护. 毕竟T1 #include <map> #include <ctime> #include <cmath> #include <queue> #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define F(i,j,k) fo…

link 设\(f_0=0,f_1=1,f_n=f_{n-1}+f_{n-2}(n\ge 2)\) 求\(\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^mf_{\gcd(i,j)}\),多组询问,\(T\le1000,n,m\le10^6\) 推导过程稍微有点难,因为有prod而不是清一色的sum了 不过总体还是不难的 \(\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^mf_{\gcd(i,j)}\) \(=\prod_{p=1}^nf_p^{\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}…

题意:$\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^m {lcm(i,j)} } $ 解题关键: $\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^m {lcm(i,j)} }  = \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^m {\frac{{i*j}}{{\gcd (i,j)}}} } $ 枚举gcd,上式化为: $\sum\limits_{d = 1}^{\min (…