[Tjoi2016&Heoi2016]求和 Time Limit: 40 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 679  Solved: 534[Submit][Status][Discuss] Description 在2016年,佳媛姐姐刚刚学习了第二类斯特林数,非常开心. 现在他想计算这样一个函数的值: S(i, j)表示第二类斯特林数,递推公式为: S(i, j) = j ∗ S(i − 1, j) + S(i − 1, j − 1), 1 <= j &l…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4555 第二类斯特林数展开式: \( S(i,j) = \frac{1}{j!} \sum\limits_{k=0}^{j}(-1)^{k}C_{j}^{k}(j-k)^{i} \) 大概是容斥枚举空的盒子个数.https://www.cnblogs.com/gzy-cjoier/p/8426987.html 在这道题里,先把 j 提到前面,再把组合数展开,推一推式子发现 j 之后的那部分是…

题意 给你一个数 \(n\) 求这样一个函数的值 : \[\displaystyle f(n)=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{i} \begin{Bmatrix} i \\ j \end{Bmatrix} \times 2^j \times (j!)\] \((1 \le n \le 100000)\) 题解 这个题直接划式子 然后 \(NTT\) 就行了qwq 需要知道一个容斥求斯特林数的东西 \[\displaystyle \begin{Bmatrix} n \\ m…

题目 在2016年,佳媛姐姐刚刚学习了第二类斯特林数,非常开心. 现在他想计算这样一个函数的值: S(i, j)表示第二类斯特林数,递推公式为: S(i, j) = j ∗ S(i − 1, j) + S(i − 1, j − 1), 1 <= j <= i − 1. 边界条件为:S(i, i) = 1(0 <= i), S(i, 0) = 0(1 <= i) 你能帮帮他吗? 输入格式 输入只有一个正整数 输出格式 输出f(n).由于结果会很大,输出f(n)对998244353(7…

[BZOJ4555]求和(第二类斯特林数,组合数学,NTT) 题面 BZOJ 题解 推推柿子 \[\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^iS(i,j)·j!·2^j\] \[=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^nS(i,j)·j!·2^j\] \[=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^nj!·2^j(\frac{1}{j!}\sum_{k=0}^j(-1)^k·C_j^k·(j-k)^i)\] \[=\sum_{j=0}^n2^j\sum_{k=0}^j(-1)^k…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4555 关于第二类斯特林数:https://www.cnblogs.com/Wuweizheng/p/8638858.html 关于这道题:https://blog.csdn.net/werkeytom_ftd/article/details/51909966 把 ∑i 移到后面那一步很不错,在后面就是个等比数列求和,就消去一个 O(n) 了: 注意等比数列求和公式当 q=1 时不适用. 代…

出处0.0用到第二类斯特林数的性质,做法好像很多,我打的是直接ntt,由第二类斯特林数的容斥公式可以推出,我们可以对于每一个i,来一次ntt求出他与所有j组成的第二类斯特林数的值,这个时候我们是O(n^2logn)的,还不如暴力,但是我们发现,对于刚刚提到的容斥的式子,将其化为卷积形式后,其一边的每一项对于每一个i都相同,另一边的每一项是对于所有的i形成一个n项的等比数列,这样我们可以把成等比数列的一边求和,用固定的一边去卷他们的和,这时候的答案的每一项就是所有的i的这一项的和,然后我们再O(n…

题目链接 \(Description\) 求 \[\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^iS(i,j)2^jj!\]对998244353取模后的结果. \(n<=10^5\) \(Solution\) \(S(i,j)\)在这里就非常碍事,怎么把它写成一个多项式的形式呢? 第二类斯特林数还有一种容斥的写法 \[S(n,m)=\frac{1}{m!}\sum_{i=0}^m(-1)^iC_m^i(m-i)^n\] 把它带到要求的式子里去 \[\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i…

传送门 首先,因为在\(j>i\)的时候有\(S(i,j)=0\),所以原式可以写成\[Ans=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^nS(i,j)\times 2^j\times j!\] \[Ans=\sum_{j=0}^n2^j\times j!\sum_{i=0}^nS(i,j)\] 根据第二类斯特林数的通项公式代入,有\[Ans=\sum_{j=0}^n2^j\times j!\sum_{i=0}^n\sum_{k=0}^j\frac{(-1)^k}{k!}\frac{(j-k…

传送门 题意: 求 \[ f(n)=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i\begin{Bmatrix} i \\ j \end{Bmatrix}2^jj! \] 思路: 直接将第二类斯特林数展开有: \[ \begin{aligned} f(n)=&\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n2^j\sum_{k=0}^{j}(-1)^k{j\choose k}(j-k)^{i}\\ =&\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n2^jj!\sum_{k=0}^j\f…

Description 在2016年,佳媛姐姐刚刚学习了第二类斯特林数,非常开心. 现在他想计算这样一个函数的值: $$f(n)=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i S(i,j)\times 2^j\times(j!)$$ $S(i,j)$表示第二类斯特林数,递推公式为:$S(i,j)=j\times S(i-1,j)+S(i-1,j-1),1\leq j\leq i-1$.边界条件为:$S(i,i)=1(0\leq i),S(i,0)=0(1\leq i)$你能帮帮他吗? Inp…

4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和 题意:求\[ \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^i S(i,j)\cdot 2^j\cdot j! \\ S是第二类斯特林数 \] 首先你要把这个组合计数肝出来,于是我去翻了一波<组合数学> 分治fft做法见上一篇,本篇是容斥原理+fft做法 组合计数 斯特林数 \(S(n,i)\)表示将n个不同元素划分成i个相同集合非空的方案数 考虑集合不相同情况\(S'(n,i)=S(n,i)*i!\),我们用容斥原理推♂倒她…

4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和 题意:求\[ \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^i S(i,j)\cdot 2^j\cdot j! \\ S是第二类斯特林数 \] 首先你要把这个组合计数肝出来,于是我去翻了一波<组合数学> 用斯特林数容斥原理推导那个式子可以直接出卷积形式,见下一篇,本篇是分治fft做法 组合计数 斯特林数 \(S(n,i)\)表示将n个不同元素划分成i个相同集合非空的方案数 Bell数 \(B(n)=\sum\limits_{i=…

题意 给定 $n$ , 求下式的值: $$ f(n)= \sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i\begin{Bmatrix}i\\ j\end{Bmatrix}\times 2^j\times j!$$ 题解 这题比较神仙... 那么我们可以思考如何来求一个比较简单的转移式. 首先我们发现, $f(n)$ 表达式中的第一重和式包含了 $f(n-1)$, 那么我们对 $f$ 的值做差分, 于是我们有 $f(n)-f(n-1)=\sum\limits_{i=0}^n\begin{Bmatr…

题目链接: https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4555 题目大意: 给定 \(S(n,m)\) 表示第二类斯特林数,定义函数 \(f(n)\) : \(f(n) = \sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^iS(i,j)*2^j*(j!)\) \(S(i, j)\) 表示第二类斯特林数,递推公式为: \(S(i,j) = S(i-1,j-1) + j*S(i-1,j),(1 \leq j \leq i-1)\). 边界条件为:…

[Lydsy1711月赛]图的价值 Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 245  Solved: 128[Submit][Status][Discuss] Description “简单无向图”是指无重边.无自环的无向图(不一定连通). 一个带标号的图的价值定义为每个点度数的k次方的和. 给定n和k,请计算所有n个点的带标号的简单无向图的价值之和. 因为答案很大,请对998244353取模输出.   Input 第一行包含两个正整数n,…

题意: 给定\(n\)个点,一个图的价值定义为所有点的度数的\(k\)次方之和. 现在计算所有\(n\)个点的简单无向图的价值之和. 思路: 将式子列出来: \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^{n-1}{n-1\choose j}2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}j^k \] 表示分别考虑每个点的贡献,我们只需要枚举其度数即可,其余的边任意连. 然后我们将后面的\(j^k\)用第二类斯特林数展开: \[ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^{n…

暴力推式子推诚卷积形式,但是看好多blog说多项式求逆不知道是啥.. \[ \sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n}S(i,j)*2^j*j! \] \[ S(i,j)=\frac{1}{j!}\sum_{k=0}^{j}(-1)^k*C_j^k*(j-k)^i \] \[ S(i,j)=\frac{1}{j!}\sum_{k=0}^{j}(-1)^k*\frac{j!}{k!(j-k)!}*(j-k)^i \] \[ \sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n}\f…

不想多说了,看网上的题解吧,我大概说下思路. 首先考察Stirling的意义,然后求出递推式,变成卷积的形式. 然后发现贡献是一定的,我们可以分治+NTT. 也可以直接求逆(我不会啊啊啊啊啊) #include <map> #include <cmath> #include <queue> #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <alg…

这个题非常巧妙啊~ #include <bits/stdc++.h> #define M 170 #define N 50003 #define mod 10007 #define LL long long #define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) using namespace std; inline int qpow(int x,int y) { int tmp=1; for(;y;y>>=1,…

4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和 Time Limit: 40 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 315  Solved: 252 Description 在2016年,佳媛姐姐刚刚学习了第二类斯特林数,非常开心. 现在他想计算这样一个函数的值: S(i, j)表示第二类斯特林数,递推公式为: S(i, j) = j ∗ S(i − 1, j) + S(i − 1, j − 1), 1 <= j <= i − 1. 边界条件为:S(…

[题意]给定n,求Σi=0~nΣj=1~i s(i,j)*2^j*j!,n<=10^5. [算法]生成函数+排列组合+多项式求逆 [题解]参考: [BZOJ4555][Tjoi2016&Heoi2016]求和-NTT-多项式求逆 $ans=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{i}s(i,j)*2^j*j!$ 令$g(n)=\sum_{j=0}^{n}s(n,j)*2^j*j!$ 则ans是Σg(i),只要计算出g(i)的生成函数就可以统计答案. g(n)可以理解为将n个数划分…

题目描述 在2016年,佳媛姐姐刚刚学习了第二类斯特林数,非常开心. 现在他想计算这样一个函数的值: S(i, j)表示第二类斯特林数,递推公式为: S(i, j) = j ∗ S(i − 1, j) + S(i − 1, j − 1), 1 <= j <= i − 1. 边界条件为:S(i, i) = 1(0 <= i), S(i, 0) = 0(1 <= i) 你能帮帮他吗? 输入 输入只有一个正整数 输出 输出f(n).由于结果会很大,输出f(n)对998244353(7 ×…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5093 每个点都是等价的,从点的贡献来看,得到式子: \( ans = n * \sum\limits_{d=0}^{n-1} d^{k} * 2^{C_{n-1}^{2}} * C_{n-1}^{d} \) 使用 \( n^{k} = \sum\limits_{i=0}^{k} S(k,i) * i! *C_{n}^{i} \) 得到 \( ans = n * \sum\limits_{d…

定义有向图的价值为图中每一个点的度数的 \(k\) 次方之和. 求:对于 \(n\) 个点的无向图所有可能情况的图的价值之和. 遇到这种题,八成是每个点单独算贡献,然后累加起来. 我们可以枚举一个点的度数是多少,然后试着去算该情况下的贡献,即 \(\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}i^k\) 由于一共有 \(n\) 个点,而除了我们限定的边之外其余的边都是可以随便连的. 故 \(Ans=n\times 2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}\times \su…

[BZOJ5093]图的价值(第二类斯特林数,组合数学,NTT) 题面 BZOJ 题解 单独考虑每一个点的贡献: 因为不知道它连了几条边,所以枚举一下 \[\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^i·i^k·2^{\frac{n(n-1)}{2}}\] 因为有\(n\)个点,所以还要乘以一个\(n\) 所以,我们真正要求的就是: \[\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^i·i^k\] 怎么做? 看到了\(i^k\)想到了第二类斯特林数 \[m^n=\sum_{i=0}^{m}…

Codeforces 题目传送门 & 洛谷题目传送门 神仙题,只不过感觉有点强行二合一(?). 首先考虑什么样的数组 \(a\) 符合条件,我们考虑一个贪心的思想,我们从前到后遍历,对于每一个 \(a_i\) 如果它已经在前面出现了就不断给它加 \(1\) 直到它没有出现过为止.如果某个 \(a_i\) 超过了 \(n\) 则不符合条件,正确性显然.这样看起来还是有点抽象,我们不妨把它转化成这样的模型:有一架飞机有 \(n\) 个位置,有 \(n\) 个乘客要登飞机,每个乘客都预定了一个位置 \…

题目链接 BZOJ5093 题解 点之间是没有区别的,所以我们可以计算出一个点的所有贡献,然后乘上\(n\) 一个点可能向剩余的\(n - 1\)个点连边,那么就有 \[ans = 2^{{n - 1 \choose 2}}n \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {n - 1 \choose i} i^k\] 显然要求 \[\sum\limits_{i = 0}^{n} {n \choose i} i^k\] 然后我就不知道怎么做了.. 翻翻题解 有这样一个结论: \[n^k…

传送门 首先,题目所求为\[n\times 2^{C_{n-1}^2}\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^ii^k\] 即对于每个点\(i\),枚举它的度数,然后计算方案.因为有\(n\)个点,且关于某个点连边的时候剩下的边都可以随便连,所以有前面的两个常数 所以真正要计算的是\[\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^ii^k\] 根据第二类斯特林数的性质,有\[i^k=\sum_{j=0}^iS(k,j)\times j!\times C_i^j\] 然后带入,得\[\s…

[洛谷2791]幼儿园篮球题(第二类斯特林数,NTT) 题面 洛谷 题解 对于每一组询问,要求的东西本质上就是: \[\sum_{i=0}^{k}{m\choose i}{n-m\choose k-i}i^L\] 如果没有后面那个部分,就是一个范德蒙恒等式,所以就要把这个\(i^L\)直接拆掉. 然后直接拿第二类斯特林数来拆: \[i^L=\sum_{j=0}^L\begin{Bmatrix}L\\j\end{Bmatrix}{i\choose j}j!\] 于是就把答案拆成了: \[\begi…