Fast Fourier Transform ——快速傅里叶变换

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Fast Fourier Transform ——快速傅里叶变换

问题: 已知$A=a_{0..n-1}$, $B=b_{0..n-1}$, 求$C=c_{0..2n-2}$,使: $$c_i = \sum_{j=0}^ia_jb_{i-j}$$ 定义$C$是$A$,$B$的卷积,记作 $$C = A * B$$ 例如多项式乘法等. 朴素做法是按照定义枚举$i$和$j$,但这样时间复杂度是$O(n^2)$. 能不能使时间复杂度降下来呢? 点值表示法: 我们把$A$,$B$,$C$看作多项式. 即: $$A(x) = \sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i…

【OI向】快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform)

[OI向]快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform) FFT的作用在学习一项算法之前,我们总该关心这个算法究竟是为了干什么. (以下应用只针对OI) 一句话:求多项式乘法(当然它的实际用处很多) 设多项式 $A(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n$ $B(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+\ldots+b_mx^m$ 我们想求 \(F(x)=A(x)B(x)=\sum\limits_{i=0}^n\sum…

数字图像处理实验（5）：PROJECT 04-01 [Multiple Uses]，Two-Dimensional Fast Fourier Transform 标签：图像处理MATLAB数字图像处理

实验要求: Objective: To further understand the well-known algorithm Fast Fourier Transform (FFT) and verify its effectiveness to calculate the discrete Fourier transform (DFT). Main requirements: Ability of programming with C, C++, or Matlab. Instruction…

「学习笔记」Fast Fourier Transform

前言快速傅里叶变换($\text{Fast Fourier Transform,FFT}$ )是一种能在$O(n \log n)$的时间内完成多项式乘法的算法,在$OI$中的应用很多,是多项式相关内容的基础.下面从头开始介绍$\text{FFT}$. 前置技能:弧度制.三角函数.平面向量. 多项式形如$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$的式子称为$x$的$n$次多项式.其中$a_0,a_1,...,a_n$称为多项式的系数. 系数…

$\mathcal{FFT}$·$\mathcal{Fast \ \ Fourier \ \ Transformation}$快速傅立叶变换

$2019.2.18upd:$ $LINK$ 之前写的比较适合未接触FFT的人阅读--但是有几个地方出了错,大家可以找一下233 啊-本来觉得这是个比较良心的算法没想到这么抽搐这个算法真是将一个人的自学能力锻炼到了极致$qwq$ 好的,那我们就开始我们的飞飞兔$FFT$算法吧! 偷偷说一句,$FFT$的代码十分的短哦~并且如果你不喜欢看算法,你可以翻到最下面看心得哟! 写在前面 ·好多你不理解的地方在代码里就只有半行. ·三个引理中,只有消去引理跟算法的实现没有关系--消去引…

Fast Walsh-Hadamard Transform——快速沃尔什变换

模板题: 给定$n = 2^k$和两个序列$A_{0..n-1}$, $B_{0..n-1}$,求 $$C_i = \sum_{j \oplus k = i} A_j B_k$$ 其中$\oplus$是某一满足交换律的位运算,要求复杂度$O(nlogn)$. 快速沃尔什变换: 这是什么东西?有用吗?请参阅SDOI2017r2d1-cut. 看到这个大家是不是立刻想到了快速傅里叶变换? $$C_i = \sum_{j + k = i} A_j B_k$$ 我们来想想离散傅里叶变换的本质. $$\b…