LOJ 6485 LJJ学多项式

前言蒟蒻代码惨遭卡常,根本跑不过前置芝士--单位根反演单位根有这样的性质: \[ \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\omega_{n}^{ki}=\left[n|k\right] \] 所以可以得出单位根反演的式子如果有$f(x)=\sum_{i=0}a_ix^i$,就可以推出 \[ \sum_{i=0}^na_i\left[d|i\right]=\frac{1}{d}\sum_{p=0}^{d-1}f(\omega_d^p) \] 证明可以把上面的式子代入,然…

loj #6485. LJJ 学二项式定理（模板qwq）

$ \color{#0066ff}{ 题目描述 }$ LJJ 学完了二项式定理,发现这太简单了,于是他将二项式定理等号右边的式子修改了一下,代入了一定的值,并算出了答案. 但人口算毕竟会失误,他请来了你,让你求出这个答案来验证一下. 一共有 $T$ 组数据,每组数据如下: 输入以下变量的值:$n, s , a_0 , a_1 , a_2 , a_3$,求以下式子的值: \(\begin{aligned}\Large \left[ \sum_{i=0}^n \left( {n\choose…

LOJ #6485 LJJ 学二项式定理

QwQ LOJ #6485 题意求题面中那个算式题解墙上暴利设$ f(x)=(sx+1)^n$ 假设求出了生成函数$ f$的各项系数显然可以算出答案因为模$ 4$的缘故只要对于每个余数算出次数模4为该余数的系数和即可求系数和强上单位根反演即可求模4余1相当于求模4余0之后平移一位即乘上$ x^{-1}$ 好像讲的非常不清楚啊... 代码 #include<ctime> #include<cmath> #include<cstdio> #include<…

LOJ 6485 LJJ 学二项式定理——单位根反演

题目:https://loj.ac/problem/6485 $ \sum\limits_{k=0}^{3}\sum\limits_{i=0}^{n}C_{n}^{i}s^{i}a_{k}[4|(i-k)] $ 然后就是套路即可. #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; ll rdn() { ll ret=;;ch…

loj 6485 LJJ学二项式定理 —— 单位根反演

题目:https://loj.ac/problem/6485 先把 $ a_{i mod 4} $ 处理掉,其实就是 $ \sum\limits_{i=0}^{3} a_{i} \sum\limits_{j=0}^{n} C_{n}^{j} * s^{j} * [4|(j-i)] $ 然后把 $ [4|(j-i)] $ 单位根反演,得到 \( \sum\limits_{i=0}^{3} a_{i} \sum\limits_{j=0}^{n} C_{n}^{j} * s^{j} * \…

loj#6485. LJJ 学二项式定理（单位根反演）

题面传送门题解首先你要知道一个叫做单位根反演的东西 \[{1\over k}\sum_{i=0}^{k-1}\omega^{in}_k=[k|n]\] 直接用等比数列求和就可以证明了而且在模$998244353$意义下的$\omega_k^1=g^{P-1\over k}$ 据说这玩意儿在$NTT$的证明里有?然而我那时候光顾着背板子了所以这个单位根反演简称小单的玩意儿能干嘛呢然后我们惊奇的发现小单可以让我们快速求一个数列里某个数倍数项的和 \[ \begin{align…

loj #6485. LJJ 学二项式定理单位根反演

新学的黑科技,感觉好nb ~ #include <bits/stdc++.h> #define ll long long #define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) using namespace std; const ll mod=998244353; inline ll qpow(ll x,ll y) { ll tmp=1; x=x%mod; y=(y%(mod-1)+mod-1)%(mod-1); for(…

[LOJ 6485]LJJ学二项式定理(单位根反演)

也许更好的阅读体验 $\mathcal{Description}$ 原题链接 $T$组询问,每次给$n,s,a_0,a_1,a_2,a_3$求 $\begin{aligned}\left(\sum ^{n}_{i=0}\begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix}\cdot s^{i}\cdot a_{i\ mod\ 4}\right)mod\ 998244353\end{aligned}$ $\mathcal{Solution}$ 这道题要用单位根…

【LOJ#6485】LJJ 学二项式定理（单位根反演）

[LOJ#6485]LJJ 学二项式定理(单位根反演) 题面 LOJ 题解显然对于$a0,a1,a2,a3$分开算答案. 这里以$a0$为例 \[\begin{aligned} Ans&=\frac{1}{4}a_0\sum_{i=0}^n [4|i]{n\choose i}s^i\\ &=\frac{1}{4}a_0\sum_{i=0}^n{n\choose i}s^i\sum_{j=0}^3 (\omega_4^{j})^i\\ &=\frac{1}{4}a_0\su…

LOJ6485 LJJ 学二项式定理解题报告

LJJ 学二项式定理题意 $T$组数据,每组给定$n,s,a_0,a_1,a_2,a_3$,求 \[ \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}s^ia_{i\bmod 4} \] 对$998244353$取模范围 $1\le T\le 10^5,1\le n\le 10^{18},1\le s,a_0,a_1,a_2,a_3\le 10^8$ 单位根反演有个套路 \[ [k\equiv l \ (\text{ mod } n)\ ]=\frac{1}{n}\sum_…

Solution -「LOJ #6485」 LJJ 学二项式定理

$\mathcal{Description}$ Link. 给定 $n,s,a_0,a_1,a_2,a_3$,求: \[\sum_{i=0}^n\binom{n}is^ia_{i\bmod4}\bmod998244353 \] 多测,数据组数 $\le10^5$,$n\le10^{18}$,其余输入 $\le10^8$. $\mathcal{Solution}$ 单位根反演板题.记一个函数 $f$ 有: \[\begin{aligned} f(x)&=…

题解 LOJ-6485 【LJJ学二项式定理】

题目由于看到正解的单位根反演过于复杂 (也就是看不懂) 所以自己构造了一个算法,理论上这个算法应该还有成长的空间(可以变得普适性更强) 不知道和单位根反演有没有一样,就发表出来了反正转载前记得要联系本人,联系方式参考 index [分析] 题目所求为 $\displaystyle Ans=[\sum_{k=0}^nC_n^ks^ka_{(k\mod 4)}]\mod 998244353$ 为避免混淆,本文中(除代码)所有 $i$ 均表明虚数的单位,即 $i^2=-1$,而代码中的…

【LOJ】#150. 挑战多项式

原题链接多项式全家桶!快乐!(好像少个除法,不过有除法好像不太快乐) (说真的这是我第一次写exp和开根...水平不行.. 从最基础要实现的操作开始吧.. 多项式取模$x^n$ 这个..很简单了,把大于等于n指数的系数全改成0就好了多项式加减法按位加/减,复杂度$O(n)$ 多项式求导数这个的话,选修2-1了解一下? $(ax^{n})' = anx^{n - 1}$ 多项式求积分同上我们只要求一个多项式的导数是该多项式即可列个方程可以发现 \(\int ax^{n}…

loj6485 LJJ 学二项式定理

题目描述: loj 题解: 单位根反演. $[n|x]=\frac{1}{n} \sum _{i=0}^{n-1} (ω_n^x)^i$ 证明?显然啊,要么停在$(1,0)$要么转一圈. 所以说题目要求的是$\sum _{i=0}^{n} C(n,i) * s^i * a_{i\;mod\;4}$ 把$a$提前,变成$\sum_{k=0}^{3}a_k \sum _{i=0} ^{n} C(n,i) *s^i [4|i-k]$ 然后把上面单位根反演式子套进去.后面变成$\sum _{i=0} ^…

Solution -「LOJ #150」挑战多项式 ||「模板」多项式全家桶

$\mathcal{Description}$ Link. 给定 $n$ 次多项式 $F(x)$,在模 $998244353$ 意义下求 \[G(x)\equiv\left\{\left[1+\ln\left(2+F(x)-F(0)-\exp \int \frac{1}{\sqrt{F(t)}}\text dt\right)\right]^k\right\}'\pmod{x^n} \] 其中保证 $F(0)$ 是模数的二次剩余,开根取模意义下较小常数项值. \(n…

loj#6491. zrq 学反演

题意:求$\sum_{i_1=1}^m\sum_{i_2=1}^m...\sum_{i_n=1}^mgcd(i_1,i_2,...i_n)$ 题解:$\sum_{d=1}^md\sum_{i_1=1}^m...\sum_{i_n=1}^m[(i_1,...i_n)==d]$ \(=\sum_{d=1}^md\sum_{i_1=1}^{\lfloor \frac{m}{d} \rfloor}...\sum_{i_n=1}^{\lfloor \frac{m}{d} \rfloor}\sum_…

LOJ#6491. zrq 学反演(莫比乌斯反演杜教筛)

题意题目链接 Sol 反演套路题? 不过最后一步还是挺妙的. 套路枚举$d$,化简可以得到 \[\sum_{T = 1}^m (\frac{M}{T})^n \sum_{d \ | T} d \mu(\frac{T}{d})\] 后面的显然是狄利克雷卷积的形式,但是这里$n \leqslant 10^{11}$显然不能直接线性筛了设$F(n) = n, f(n) = \phi(n)$ 根据欧拉函数的性质,有$F(n) = \sum_{d \ | n} f(d)$ 反演一下 \…

FFT/NTT复习笔记&多项式&生成函数学习笔记Ⅲ

第三波,走起~~ FFT/NTT复习笔记&多项式&生成函数学习笔记Ⅰ FFT/NTT复习笔记&多项式&生成函数学习笔记Ⅱ 单位根反演今天打多校时 1002 被卡科技了--赛场上看出来是个单位根反演但不会,所以只好现学这东西了( 首先你得知道单位根是什么东西,对于 $n$ 次方程 $x^n-1=0(x\in\mathbb{C})$,在复数域上有 $n$ 个根,其对应到复平面上就是单位圆的 $n$ 等分点,我们将这些单位根从 $x$ 轴正半轴开始顺时针依次…

数论ex

数论ex 数学学得太差了补补知识点or复习 Miller-Rabin 和 Pollard Rho Miller-Rabin 前置知识: 费马小定理 \[ a^{p-1}\equiv 1\pmod p,p \ is \ prime \] 二次探测(mod奇素数下1的二次剩余) \[ x^2\equiv 1\pmod p\Rightarrow x=1 \ or \ p-1 \] 如果不是 $\bmod$ 奇素数,二次剩余可能是更多的值如果把费马小定理反过来用来检测一个数是否是素数,虽然是错的,…

【知识总结】多项式全家桶（一）（NTT、加减乘除和求逆）

我这种数学一窍不通的菜鸡终于开始学多项式全家桶了-- 必须要会的前置技能:FFT(不会?戳我:[知识总结]快速傅里叶变换(FFT)) 以下无特殊说明的情况下,多项式的长度指多项式最高次项的次数加$1$ 一.NTT 跟FFT功能差不多,只是把复数域变成了模域(计算复数系数多项式相乘变成计算在模意义下整数系数多项式相乘).你看FFT里的单位圆是循环的,模一个质数也是循环的嘛qwq.$n$次单位根$w_n$怎么搞?看这里:[BZOJ3328]PYXFIB(数学)(内含相关证明.只看与原根和…