转自:http://xuehy.github.io/%E4%BC%98%E5%8C%96/2014/04/13/KKT/ 从对偶问题到KKT条件 Apr 13, 2014 对偶问题(Duality) ====== 对偶性是优化问题中一个非常重要的性质,它能够神奇地将许多非凸的优化问题转化成凸的问题,关于这一理论,恐怕又是一个博大精深的横向领域,这里我们一切从简,就从线性规划(LP)问题的对偶问题讲起. 说到对偶,我总是会不自禁地想起射影几何的东西,不过这里的对偶和射影几何无关,我们先来看一个非常…

04-拉格朗日对偶问题和KKT条件 目录 一.拉格朗日对偶函数 二.拉格朗日对偶问题 三.强弱对偶的几何解释 四.鞍点解释 4.1 鞍点的基础定义 4.2 极大极小不等式和鞍点性质 五.最优性条件与 KKT 条件 5.1 KKT 条件 5.2 KKT 条件与凸问题 六.扰动及灵敏度分析 6.1 扰动问题 6.2 灵敏度分析 七.Reformulation 7.1 引入等式约束 7.2 显示约束与隐式约束的相互转化 7.3 转化目标函数与约束函数 凸优化从入门到放弃完整教程地址:https://w…

问题的引出 给定一个函数\(f\),以及一堆约束函数\(g_1,g_2,...,g_m\)和\(h_1,h_2,...,h_l\).带约束的优化问题可以表示为 \[ \min_{X \in R^n}f(X) \quad s.t. \; g_i(X) \leq 0 \; , \;h_j(X) = 0 \] 下面我们将来讨论具有上述问题的解,一共可以分为四种情况: 无约束条件 只有等式约束条件 只有不等式约束条件 同时有等式和不等式约束条件 无约束条件 我们先来复习一下多元函数取得极值的条件.设\(…

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最好的解释:https://www.quora.com/What-is-an-intuitive-explanation-of-the-KKT-conditions# 作者:卢健龙链接:https://www.zhihu.com/question/38586401/answer/105273125来源:知乎著作权归作者所有.商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处. 拉格朗日乘数法(Lagrange multiplier)有很直观的几何意义.举个2维的例子来说明:假设有自变量x和y,给定…

转自:七月算法社区http://ask.julyedu.com/question/276 咨询:带约束优化问题 拉格朗日 对偶问题 KKT条件 关注 | 22 ... 咨询下各位,在机器学习相关内容中,每次看到带约束优化问题,总是看到先用拉格朗日函数变成无约束问题,然后转成求拉格朗日对偶问题,然后有凸函数假设,满足KKT条件时原问题最优解和对偶问题最优解等价. 每次看到这个,总不是很理解为什么要这么做?为什么首先转为无约束问题(这个相对好理解一点,因为容易处理)为什么拉格朗日函数无约束问题要转变…

上一篇说到SVM需要求出一个最小的||w|| 以得到最大的几何间隔. 求一个最小的||w|| 我们通常使用 来代替||w||,我们去求解 ||w||2 的最小值.然后在这里我们还忽略了一个条件,那就是约束条件,在上一篇的公式(8)中的不等式就是n维空间中数据点的约束条件.只有在满足这个条件下,求解||w||2的最小值才是有意义的.思考一下,若没有约束条件,那么||w||2的最小值就是0,反应在图中就是H1和H2的距离无限大那么所有点都会在二者之间,都属于同一类,而无法分开了. 求最小值的目标函数…

接下来准备写支持向量机,然而支持向量机和其他算法相比牵涉较多的数学知识,其中首当其冲的就是标题中的拉格朗日乘子法.KKT条件和对偶问题,所以本篇先作个铺垫. 大部分机器学习算法最后都可归结为最优化问题.对于无约束优化问题: \(\min\limits_\boldsymbol{x} f(\boldsymbol{x})\) (本篇为形式统一,只考虑极小化问题),一般可直接求导并用梯度下降或牛顿法迭代求得最优值. 对于含有等式约束的优化问题,即: \[ \begin{aligned} {\min_{\…

SVM目前被认为是最好的现成的分类器,SVM整个原理的推导过程也很是复杂啊,其中涉及到很多概念,如:凸集和凸函数,凸优化问题,软间隔,核函数,拉格朗日乘子法,对偶问题,slater条件.KKT条件还有复杂的SMO算法! 相信有很多研究过SVM的小伙伴们为了弄懂它们也是查阅了各种资料,着实费了不少功夫!本文便针对SVM涉及到的这些复杂概念进行总结,希望为大家更好地理解SVM奠定基础(图片来自网络). 一.凸集和凸函数 在讲解凸优化问题之前我们先来了解一下凸集和凸函数的概念 凸集:在点集拓扑学与欧几…

1 前言 拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier)  和 KKT(Karush-Kuhn-Tucker)  条件是求解约束优化问题的重要方法,在有等式约束时使用拉格朗日乘子法,在有不等约束时使用 KKT 条件.当然,这两个方法求得的结果只是必要条件,只有当目标函数是凸函数的情况下,才能保证是充分必要条件. 1.1 最优化问题三种约束条件 1:无约束条件 解决方法通常是函数对变量求导,令导函数等于0的点可能是极值点,将结果带回原函数进行验证. 2:等式约束条件 设目标函数为 $f(…