Burnside引理:对于一个置换\(f\), 若一个着色方案\(s\)经过置换后不变,称\(s\)为\(f\)的不动点.将\(f\)的不动点数目记为\(C(f)\), 则可以证明等价类数目为\(C(f)\) 的平均值. 也就是对于置换群中的某一个置换\(f\),\(C(f)\)为所有着色方案中,那些经过置换\(f\) 可以互相转换(即等价)的着色方案数 因为一个置换可以拆成若干个循环,置换中的每个元素可以看成是一个结点,那么每个节点必有一个出度和入度,所以肯定会形成若干个环,在置换\(f\)…

https://vjudge.net/problem/UVA-10294 题意: 手镯可以翻转,但项链不可以.输入n和t,输出用t种颜色的n颗珠子能制作成的项链和手镯的个数. 思路: 经典等价类计数问题. 对应题目的翻转问题,分奇偶讨论. 奇数时,如题图右,对称轴是一个珠子到圆心的连线,一共n条.选定对称轴后,对称轴上的一个珠子构成一个循环,其他n-1个珠子分别以对称轴对称构成(n-1)/2个循环,所以循环节的个数是 1 + (n – 1) / 2 = (n + 1) / 2 . 偶数时,如题图…

题意 项链和手镯都是由若干珠子串成的环形首饰,区别在于手环可以翻转,但项链不可以. 输入整数 $n$ 和 $t$,输出用 $t$ 中颜色 $n$ 颗珠子能制作成的项链和手镯的个数.($1\leq n \leq 50, 1 \leq t\leq 10$). 分析 这里共有两种置换,即旋转和翻转,项链只有其中一种,而手镯两种都有. 旋转:如果逆时针旋转 $i$ 颗珠子的间距,则 $0,i,2i,...$ 构成一个循环(大于 $n$ 时模 $n$),这个循环有 $n/gcd(i,n)$ 个元素.根据对…

题目来源:UVa 10294 Arif in Dhaka (First Love Part 2) 题意:n颗珠子t种颜色 求有多少种项链和手镯 项链不可以翻转 手镯可以翻转 [分析] 要开始学置换了. 置换是什么呢?  置换的广义概念在不同语境下有不同的形式定义: 在集合论中,一个集合的置换是从该集合映至自身的双射:在有限集的情况,便与上述定义一致. 在组合数学中,置换一词的传统意义是一个有序序列,其中元素不重复,但可能有阙漏.例如1,2,4,3可以称为1,2,3,4,5,6的一个置换,但是其中…

题目大意: 项链和手镯都是若干珠子穿成的环形首饰,手镯可以旋转和翻转,但项链只能旋转,给n个珠子,t种颜色,求最后能形成的手镯,项链的数量 这里根据等价类计数的polya定理求解 对于一个置换f,若一种方案经过置换后不改变,那么不改变的点的个数记作C(f) 统计所有的C(f) , 相加之后求和除以置换的种数即可 那么这道题里面 对于项链来说,旋转一个角度,也就是2*PI/n , 那么置换群可表示为 1 2 3 4 .... n 2 3 4 5 ... 1 这里就存在一个循环节 所以方案数为 t^…

这题和POJ-1286一样 题意: 给出t种颜色的n颗珠子 (每种颜色的珠子个数无限制,但总数必须是n), 求能制作出项链和手镯的个数 注意手镯可以翻转和旋转  而 项练只能旋转 解析: 注意Polya定理: 等价类的个数等于所有的置换f的km(f)的平均数 先考虑旋转,一共有n种情况,旋转1颗珠子构成循环,2颗,3颗·····n颗,那么对于旋转i颗珠子有gcd(i,n)个循环,那么根据Polya定理  置换的不动点的个数为 a = sum(tgcd(i, n)); 为什么又gcd(i, n)个…

题意:给定 n 和 m 表示要制作一个项链和手镯,项链和手镯的区别就是手镯旋转和翻转都是相同的,而项链旋转都是相同的,而翻转是不同的,问你使用 n 个珠子和 m 种颜色可以制作多少种项链和手镯. 析:一个很明显的 Polya 定理,先考虑旋转,如果逆时针旋转 i 个珠子,那么 0 i 2i 3i ... 是一个循环,这样的话就有 gcd(i, n) 个循环. 对于翻转,要考虑是奇偶,如果是奇数,肯定是要过一个珠子的,所以就一共有 n 个相同的,对于每一个会形成 n/2 个长度为 2 个的循环,和…

题目链接:http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewProblem.action?id=35397 [思路] Polya定理. 旋转:循环节为gcd(i,n),i为偏移距离. 翻转:当n为偶数时,对称轴过点时循环节为n/2+1有n/2个,不过点时循环节为n/2有n/2个. 使用polya定理进行计数即可. [代码] #include<cstdio> using namespace std; typedef long long LL; +; LL pow…

Burnside定理:若一个着色方案s经过置换f后不变,称s为f的不动点,将置换f的不动点的数目记作C(f).等价类的数目等于所有C(f)的平均值. 一个项链,一个手镯,区别在于一个能翻转一个不能,用t种颜色染n颗珠子,求等价类的个数. 旋转置换群一共有n个置换,分别对应将项链整体逆时针旋转0个.1个.2个...珠子的置换. 对于第i个置换,第0个.i个.2i...个珠子构成一个循环,共有gcd(n, i)个循环,每个循环中有n / gcd(n, i)个珠子. 所以n个置换,每个置换的不动点有t…

Description 现有一颗含\(N\)个珠子的项链,每个珠子有\(t\)种不同的染色.现求在旋转置换下有多少种本质不同的项链,在旋转和翻转置换下有多少种本质不同的项链.\(N < 51,t < 11\) Input The input file contains several lines of input. Each line contains two positive integers \(N (0 < N < 51)\) and \(t (0 < t < 1…