定义有向图的价值为图中每一个点的度数的 \(k\) 次方之和. 求:对于 \(n\) 个点的无向图所有可能情况的图的价值之和. 遇到这种题,八成是每个点单独算贡献,然后累加起来. 我们可以枚举一个点的度数是多少,然后试着去算该情况下的贡献,即 \(\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}i^k\) 由于一共有 \(n\) 个点,而除了我们限定的边之外其余的边都是可以随便连的. 故 \(Ans=n\times 2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}\times \su…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5093 每个点都是等价的,从点的贡献来看,得到式子: \( ans = n * \sum\limits_{d=0}^{n-1} d^{k} * 2^{C_{n-1}^{2}} * C_{n-1}^{d} \) 使用 \( n^{k} = \sum\limits_{i=0}^{k} S(k,i) * i! *C_{n}^{i} \) 得到 \( ans = n * \sum\limits_{d…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5093 不要见到组合数就拆! 枚举每个点的度数,则答案为 \( n*\sum\limits_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^{i}*2^{C_{n-1}^{2}}*i^{k} \) (又是那个公式:\( x^{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}C_{x}^{k}*(k!)*S(n,k) \)) \( = n*2^{C_{n-1}^{2}}\sum\limits_{i=0}…

[洛谷2791]幼儿园篮球题(第二类斯特林数,NTT) 题面 洛谷 题解 对于每一组询问,要求的东西本质上就是: \[\sum_{i=0}^{k}{m\choose i}{n-m\choose k-i}i^L\] 如果没有后面那个部分,就是一个范德蒙恒等式,所以就要把这个\(i^L\)直接拆掉. 然后直接拿第二类斯特林数来拆: \[i^L=\sum_{j=0}^L\begin{Bmatrix}L\\j\end{Bmatrix}{i\choose j}j!\] 于是就把答案拆成了: \[\begi…

题目描述 给你\(n,m\),求所有\(n\)个点的简单无向图中每个点度数的\(m\)次方的和. \(n\leq {10}^9,m\leq {10}^5\) 题解 \(g_n\)为\(n\)个点的无向图个数,\(f_n\)为\(n\)个点的答案. \[ \begin{align} g_n&=2^{\binom{n}{2}}\\ f_n&=ng_{n-1}\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}i^m\\ &=ng_{n-1}\sum_{i=0}^{n-1}\bi…

[BZOJ5093]图的价值(第二类斯特林数,组合数学,NTT) 题面 BZOJ 题解 单独考虑每一个点的贡献: 因为不知道它连了几条边,所以枚举一下 \[\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^i·i^k·2^{\frac{n(n-1)}{2}}\] 因为有\(n\)个点,所以还要乘以一个\(n\) 所以,我们真正要求的就是: \[\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^i·i^k\] 怎么做? 看到了\(i^k\)想到了第二类斯特林数 \[m^n=\sum_{i=0}^{m}…

题意: 给定\(n\)个点,一个图的价值定义为所有点的度数的\(k\)次方之和. 现在计算所有\(n\)个点的简单无向图的价值之和. 思路: 将式子列出来: \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^{n-1}{n-1\choose j}2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}j^k \] 表示分别考虑每个点的贡献,我们只需要枚举其度数即可,其余的边任意连. 然后我们将后面的\(j^k\)用第二类斯特林数展开: \[ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^{n…

题目链接 BZOJ5093 题解 点之间是没有区别的,所以我们可以计算出一个点的所有贡献,然后乘上\(n\) 一个点可能向剩余的\(n - 1\)个点连边,那么就有 \[ans = 2^{{n - 1 \choose 2}}n \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {n - 1 \choose i} i^k\] 显然要求 \[\sum\limits_{i = 0}^{n} {n \choose i} i^k\] 然后我就不知道怎么做了.. 翻翻题解 有这样一个结论: \[n^k…

传送门 首先,题目所求为\[n\times 2^{C_{n-1}^2}\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^ii^k\] 即对于每个点\(i\),枚举它的度数,然后计算方案.因为有\(n\)个点,且关于某个点连边的时候剩下的边都可以随便连,所以有前面的两个常数 所以真正要计算的是\[\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^ii^k\] 根据第二类斯特林数的性质,有\[i^k=\sum_{j=0}^iS(k,j)\times j!\times C_i^j\] 然后带入,得\[\s…

原题链接 题解 题目等价于求这个式子 \[ans=n2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}i^k\] 有这么一个式子 \[i^k=\sum\limits_{j=0}^{i}\begin{Bmatrix} k\\ j \end{Bmatrix}j!\binom{i}{j}\] 代入可得 \[ans=n2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}…