全源最短路——Johnson 算法

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【学习笔记】 Johnson 全源最短路

前置扯淡一年多前学的最短路,当时就会了几个名词的拼写,啥也没想过几个月之前,听说了"全源最短路"这个东西,当时也没说学一下,现在补一下(感觉实在是没啥用) 介绍由于\(spfa\)容易被卡,实际上我们在\(O(nlog \space n)\) 的算法只有堆优化的\(Dijkstra\) 由于先天问题,\(Dijkstra\)无法处理在负权图上的问题所以"\(Johnson\)全源最短路"算法就应运而生了算法流程我们针对\(Dijkstra\)无法处理负权…

模板C++ 03图论算法 2最短路之全源最短路(Floyd)

3.2最短路之全源最短路(Floyd) 这个算法用于求所有点对的最短距离.比调用n次SPFA的优点在于代码简单,时间复杂度为O(n^3).[无法计算含有负环的图] 依次扫描每一点(k),并以该点作为中介点,计算出通过k点的其他任意两点(i,j)的最短距离,这就是floyd算法的精髓!同时也解释了为什么k点这个中介点要放在最外层循环. void floyd() { memset(dis,,sizeof(dis)); ;i<=n;i++) dis[i][i]=; ;k<=n;k++)//中介点 ;…

Johnson全源最短路

例题:P5905 [模板]Johnson 全源最短路首先考虑求全源最短路的几种方法: Floyd:时间复杂度\(O(n^3)\),可以处理负权边,但不能处理负环,而且速度很慢. Bellman-Ford:以每个点为源点做一次Bellman-Ford,时间复杂度\(O(n^2m)\),可以处理负权边,可以处理负环,但好像比Floyd还慢? dijkstra:以每个点为源点做一次dijkstra,时间复杂度\(O(nmlogm)\),不能处理负权边,但比前面两个快多了. 好像--只有dijkstr…

Johnson 全源最短路

学这个是为了支持在带负权值的图上跑 Dijkstra. 为了这个我们要考虑把负的权值搞正. 那么先把我们先人已经得到的结论摆出来.我们考虑先用 SPFA 对着一个满足三角形不等式的图跑一次最短路,具体就是在原图的基础上建立超级源点. 然后我们把得到的这个东西称为势能 \(h\) ,我们对于原图的每条边 \((u,v)\)的边权加上 \(h_u-h_v\),然后就可以跑 Dijkstra 了,求出的答案是 \(dis_{i,j}-h_i+h_j\).然后我们证明这样搞是对的. 首先需要证明这个搞…

单源最短路——Bellman-Ford算法

1.Dijkstra的局限性 Dijkstra算法是处理单源最短路径的有效算法,但它局限于边的权值非负的情况,若图中出现权值为负的边,Dijkstra算法就会失效,求出的最短路径就可能是错的. 列如以下这个例子: 在这个图中,求从A到C的最短路,如果用Dijkstra根据贪心的思想,选择与A最接近的点C,长度为7,以后不再变化.但是很明显此图最短路为5.归结原因是Dijkstra采用贪心思想,不从整体考虑结果,只从当前情况考虑选择最优. 2.Bellman-Ford算法的引入为了能够解决边上带…

单源最短路dijkstra算法&&优化史

一下午都在学最短路dijkstra算法,总算是优化到了我能达到的水平的最快水准,然后列举一下我的优化历史,顺便总结总结最朴素算法: 邻接矩阵存边+贪心||dp思想,几乎纯暴力,luoguTLE+MLE, 算优点??:但好写好想,比下面的代码短了差不多一半. #include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std; int main() { ][],point,i,j,…

单源最短路——dijkstra算法

Dijkstra算法 1.定义概览 Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径.主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止. 问题描述:在无向图 G=(V,E) 中,假设每条边 E[i] 的长度为 w[i],找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径.(单源最短路径) 2.算法描述 1)算法思想:设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每…