1227 平均最小公倍数 题意:求\(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n lcm(n,i)\) 和的弱化版? \[ ans = \frac{1}{2}((\sum_{i=1}^n \sum_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor} d\cdot \varphi(d) ) - \sum_{i=1}^n) \] 求\(id\cdot \varphi\)的前缀和,卷上\(id\)就行了 我竟然把整除分块打错了,直接i++,gg #include <iostr…

以后这种题能用phi的就不要用mu-mu往往会带着个ln然后被卡常致死 把题目要求转换为前缀和相减的形式,写出来大概是要求这样一个式子: \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}\frac{j}{gcd(i,d)} \] 注意j的限制是i \[ \sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}[gcd(i,j)==d]\frac{j}{d} \] \[ \sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{\left \lfloor \fr…

1220 约数之和 题意:求\(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sigma_1(ij)​\) \[ \sigma_0(ij) = \sum_{x\mid i}\sum_{y\mid j}[(x,y)=1]\\ \sigma_1(ij) = \sum_{x\mid i}\sum_{y\mid j}x\cdot\frac{j}{y}[(x,y)=1] \\ \] 怎么证明第二个式子? \[ \sigma_1(n) = \prod_i(1 + p_i + p_i^2 + ...…

题面 令d(n)d(n)d(n)表示nnn的约数之和求 ∑i=1n∑j=1nd(ij)\large\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nd(ij)i=1∑n​j=1∑n​d(ij) 题目分析 先给结论 d(ij)=∑x∣i∑y∣jxj/y[(x,y)==1]\large d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}xj/y[(x,y)==1]d(ij)=x∣i∑​y∣j∑​xj/y[(x,y)==1] 可以通过 传送门 类似的证明方法证明 拖更- AC code #includ…

1222 最小公倍数计数 题意:求有多少数对\((a,b):a<b\)满足\(lcm(a,b) \in [1, n]\) \(n \le 10^{11}\) 卡内存! 枚举\(gcd, \frac{a}{gcd}, \frac{b}{gcd}\),然后\(\mu\)代入,就是 \[ \sum_{d=1}^{\sqrt{n}}\mu(d) \sum_i \sum_j \sum_k [ijk \le \frac{n}{d^2}] \] 问题就是怎么求后面的式子了 一开始我是 \[ f(n) = \s…

[题意]给定n,求Σi=1~nΣj=1~n lcm(i,j),n<=10^10. [算法]杜教筛 [题解]就因为写了这个非常规写法,我折腾了3天…… $$ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}lcm(i,j)$$ 令 $$g(n)=n*\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{(n,i)}$$ 那么 $$ans(n)=2*g(n)-\sum_{i=1}^{n}i$$ 枚举gcd,化简g(n). $$g(n)=n*\sum_{d|n}1/d\sum_{i=1}^{n}…

首先题目中给出的代码打错了,少了个等于号,应该是 G=0; for(i=1;i<=N;i++) for(j=1;j<=N;j++) { G = (G + lcm(i,j)) % 1000000007; } 然后就是大力推公式: \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}lcm(i,j) \] \[ =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{ij}{gcd(i,j)} \] \[ =\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_…

题意 求 $\sum_{i=a}^b \sum_{j=1}^i \frac{lcm(i,j)}{i}$. 分析 只需要求出前缀和, $$\begin{aligned}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i \frac{lcm(i,j)}{i} &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i \frac{j}{gcd(i,j)} \\&= \sum_{d=1}^n \sum _{i=1}^n \sum_{j=1}^i \frac{j}{d} \cdot [gcd(i,j…

题目描述 求∑i=1N∑j=1Nlcm(i,j)\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Nlcm(i,j)i=1∑N​j=1∑N​lcm(i,j) 2<=N<=10102<=N<=10^{10}2<=N<=1010 题目分析 这道题题面跟[bzoj 2693] jzptab & [bzoj 2154] Crash的数字表格一样,然而数据范围加强到了101010^{10}1010,莫比乌斯反演不行了了,所以我们看看怎样玄学杜教筛 Ans=∑i=1n∑j=1n…

题目 戳这里 推导 ∑i=1n∑j=1nlcm(i,j)~~~\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}lcm(i,j)   ∑i=1n​∑j=1n​lcm(i,j) =∑i=1n∑j=1nijgcd(i,j)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{ij}{gcd(i,j)}=∑i=1n​∑j=1n​gcd(i,j)ij​ =∑i=1nd−1∑i=1n∑j=1nij[gcd(i,j)==d]=\sum_{i=1}^{n}d^{-1}\sum_{i=1}…