[洛谷2791]幼儿园篮球题(第二类斯特林数,NTT) 题面 洛谷 题解 对于每一组询问,要求的东西本质上就是: \[\sum_{i=0}^{k}{m\choose i}{n-m\choose k-i}i^L\] 如果没有后面那个部分,就是一个范德蒙恒等式,所以就要把这个\(i^L\)直接拆掉. 然后直接拿第二类斯特林数来拆: \[i^L=\sum_{j=0}^L\begin{Bmatrix}L\\j\end{Bmatrix}{i\choose j}j!\] 于是就把答案拆成了: \[\begi…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4555 关于第二类斯特林数:https://www.cnblogs.com/Wuweizheng/p/8638858.html 关于这道题:https://blog.csdn.net/werkeytom_ftd/article/details/51909966 把 ∑i 移到后面那一步很不错,在后面就是个等比数列求和,就消去一个 O(n) 了: 注意等比数列求和公式当 q=1 时不适用. 代…

题目链接 \(Description\) 求 \[\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^iS(i,j)2^jj!\]对998244353取模后的结果. \(n<=10^5\) \(Solution\) \(S(i,j)\)在这里就非常碍事,怎么把它写成一个多项式的形式呢? 第二类斯特林数还有一种容斥的写法 \[S(n,m)=\frac{1}{m!}\sum_{i=0}^m(-1)^iC_m^i(m-i)^n\] 把它带到要求的式子里去 \[\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i…

题目 [HEOI2016/TJOI2016]求和 关于斯特林数与反演的更多姿势\(\Longrightarrow\)点这里 做法 \[\begin{aligned}\\ Ans&=\sum\limits_{i=0}^n \sum\limits_{j=0}^i \begin{Bmatrix}i\\j\end{Bmatrix}2^j×j!~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~1\\ &=\sum\limits_{i=0}^n \sum\l…

给你斯特林数就换成通项公式,给你k次方就换成斯特林数 考虑换成通项公式之后,组合数没有什么好的处理方法 直接拆开,消一消阶乘 然后就发现了(j-k)和k! 往NTT方向靠拢 然后大功告成 其实只要想到把斯特林公式换成通项公式,考虑用NTT优化掉(j-k)^i 后面都是套路了. #include<bits/stdc++.h> #define reg register int #define il inline #define numb (ch^'0') #define int long long…

题目大意 求\(f(n)=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i2^j\times j!\times S(i,j)\\\) 对\(998244353\)取模 \(n\leq 100000\). 题解 \[ \begin{align} S(n,k)&=\frac1{k!}\sum_{i=0}^k{(-1)}^i\binom{k}{i}{(k-i)}^n\\ &=\frac1{k!}\sum_{i=0}^k{(-1)}^i\frac{k!}{i!(k-i)!}(k-i)^n\\ &a…

题目链接 (luogu) https://www.luogu.org/problem/P4091 (bzoj) https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4555 题解 终于不是神仙题了啊... 首先\(O(n\log n)\)的FFT做法非常明显,直接用容斥展开,这里不再赘述了.发现最后就是要求一个\(\sum^{n}_{k=0}\sum^{n}_{j=k}(-1)^{j-k}{j\choose k}2^j(\sum^{n}_{i=0}k…

[BZOJ4555]求和(第二类斯特林数,组合数学,NTT) 题面 BZOJ 题解 推推柿子 \[\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^iS(i,j)·j!·2^j\] \[=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^nS(i,j)·j!·2^j\] \[=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^nj!·2^j(\frac{1}{j!}\sum_{k=0}^j(-1)^k·C_j^k·(j-k)^i)\] \[=\sum_{j=0}^n2^j\sum_{k=0}^j(-1)^k…

传送门 题意: 求 \[ f(n)=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i\begin{Bmatrix} i \\ j \end{Bmatrix}2^jj! \] 思路: 直接将第二类斯特林数展开有: \[ \begin{aligned} f(n)=&\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n2^j\sum_{k=0}^{j}(-1)^k{j\choose k}(j-k)^{i}\\ =&\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n2^jj!\sum_{k=0}^j\f…

题目 在2016年,佳媛姐姐刚刚学习了第二类斯特林数,非常开心. 现在他想计算这样一个函数的值: S(i, j)表示第二类斯特林数,递推公式为: S(i, j) = j ∗ S(i − 1, j) + S(i − 1, j − 1), 1 <= j <= i − 1. 边界条件为:S(i, i) = 1(0 <= i), S(i, 0) = 0(1 <= i) 你能帮帮他吗? 输入格式 输入只有一个正整数 输出格式 输出f(n).由于结果会很大,输出f(n)对998244353(7…