已知$a,b>0$证明:$\dfrac{1}{a+2b}+\dfrac{1}{a+4b}+\dfrac{1}{a+6b}<\dfrac{3}{\sqrt{(a+b)(a+7b)}}$ 证明:\begin{align*} \dfrac{1}{a+2b}+\dfrac{1}{a+4b}+\dfrac{1}{a+6b} & <\sqrt{3}{\sqrt{\left(\dfrac{1}{a+2b}\right)^2+\left(\dfrac{1}{a+4b}\right)^2+\lef…

已知${a_n}$满足$a_1=1,a_{n+1}=(1+\frac{1}{n^2+n})a_n.$证明:当$n\in N^+$时, $(1)a_{n+1}>a_n.(2)\frac{2n}{n+1}\le a_n\le \frac{en}{n+1}$ 评:当然也可以按参考答案由数学归纳法证明.…

平衡树维护凸壳/三角函数+递推+线段树 官方题解:http://pan.baidu.com/s/1sjQbY8H 洛阳城里春光好 题目大意:(其实出题人已经写的很简短了……直接copy的-_-.sorry!) 一个平面上的n个点构成一个点集.老师会进行Q次操作,每次操作有以下两种可能:1. 插入操作:给定两个实数x,y,向点集中加入一个坐标为(x,y)的点.2. 查询操作:给定实数k,取点集中任一点(x,y),求满足方程y=kx+b的b的最大值.现在小Z想知道,对于数学老师的每次查询,符合题意的…

题目链接 传送门 思路 首先我们对\(\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\prod\limits_{i=1}^{n}(a_i^2+x^2)}dx\)进行裂项相消: \[ \begin{aligned} &\frac{1}{\prod\limits_{i=1}^{n}(a_i^2+x^2)}&\\ =&\frac{1}{(a_1^2+x^2)(a_2^2+x^2)}\times\frac{1}{\prod\limits_{i=3}^{n}(a_i^2+x^2)}&a…

题意 设 $$g_m(n)=\begin{cases}& g_m(i) = 0,     \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \leq i \leq m\\& g_m(i) = i-1 + \frac{1}{i}\sum _{j=1}^i(g_m(j) + g_m(i-j)), \ \  i > m\\\end{cases}$$ 现给出 $n…

链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/881/B 来源:牛客网 Integration 时间限制:C/C++ 2秒,其他语言4秒 空间限制:C/C++ 524288K,其他语言1048576K 64bit IO Format: %lld 题目描述 Bobo knows that ∫ ∞ 0 1 1 x 2 d x = π 2 . ∫0∞11+x2 dx=π2. Given n distinct positive integers a 1 , a 2 , -…

目录 @description@ @solution@ @part - 1@ @part - 2@ @part - 3@ @accepted code@ @details@ @description@ 给定 N 个整数 a1,a2,...,aN,定义函数 f 和 g: f(x,k) = (x + a1)^k + (x + a2)^k +···+ (x + aN)^k g(t,k) = f(0,k) + f(1,k) +···+ f(t,k) 给定整数 T 和 K,对于每个 0 ∼ K 之间的 i…

题意 给定两个整数 \(n,m\),求 \[\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{\prod\limits_{j=i}^{i+m-1}j} \] \(\texttt{Data Range:}1\leq n+m\leq 500\) 题解 小学奥数,裂项相消. 比如说有如下例子: \[\frac{1}{1\times2\times3}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1\times2}-\frac{1}{2\times 3}\right) \] 考虑以这个作…

已知数列$\{a_n\}$满足:$a_1=1,a_{n+1}=a_n+\dfrac{a_n^2}{n(n+1)}$1)证明:对任意$n\in N^+,a_n<5$2)证明:不存在$M\le4$,使得对任意$n,a_n<M$ 证明:1)显然$a_{n+1}>a_n,a_{n+1}=a_n+\dfrac{a_n^2}{n(n+1)}<a_n+\dfrac{a_na_{n+1}}{n(n+1)}$故$\dfrac{1}{a_n}<\dfrac{1}{a_{n+1}}+\dfrac{…

相关公式 ①等差数列的\(S_n=\cfrac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\cfrac{n(n-1)\cdot d}{2}\) ②等比数列的\(S_n=\left\{\begin{array}{l}{na_1,q=1}\\{\cfrac{a_1\cdot (1-q^n)}{1-q}=\cfrac{a_1-a_nq}{1-q},q\neq 1}\end{array}\right.\) ③\(1+2+3+\cdots+ n=\cfrac{n(n+1)}{2}\): ④\(1+3+5+\…