题目链接 (Luogu) https://www.luogu.org/problem/P4727 (BZOJ) https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1488 题解 Burnside引理经典题. 首先考虑一个\(O(n!\times poly(n))\)暴力: 枚举点的置换,然后计算在置换下保持不变的图的个数. 把置换拆成若干个轮换. (1) 考虑轮换内部: 假设一轮换为\((a_1\ a_2\ ...\ a_n)\), 那么\((a_…

题目传送门 bzoj1488 - [HNOI2009]图的同构 bzoj1815 - [Shoi2006]color 有色图(双倍经验) 题解 暴力 由于在做题之前已经被告知是 Burnside 引理,貌似思考的时候少了一些乐趣啊. 考虑一个置换 \(p\),想要求出这个置换下的不动点的个数.对于一个不动点,若存在一条边 \((a, b)\),一定存在一条边 \((p_a, p_b)\). 那么考虑一个长度为 \(l\) 的循环,若 \((i, j)\) 是一条 \(i, j\) 均在循环中的点…

题目:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1004 分析: 1.确定方向:肯定是组合数学问题,不是Polya就是Burnside,然后题目上说每种颜色的个数都是一定的,所以肯定是Burnside了 2.确定置换群:首先输入的那么多肯定是每个都是一个置换,那么要不要对每个叠加呢?不用的,因为题目上说“输入数据保证任意多次洗牌都可用这 m种洗牌法中的一种代替,且对每种洗牌法,都存在一种洗牌法使得能回到原状态”.所以对于读入的所有就是整个置换…

LINK:Cards 不太会burnside引理 而这道题则是一个应用. 首先 一个非常舒服的地方是这道题给出了m个本质不同的置换 然后带上单位置换就是m+1个置换. burnside引理: 其中D(a_j)表示 在\(a_j\)这置换中的不动点的个数. 其实我们求出每个置换的不动点个数就行了. 循环很好求 每个循环都填一样的就是不动点了 直接dp一下即可. code //#include<bits/stdc++.h> #include<iostream> #include<…

Problem 起源: SGU 294 He's Circle 遗憾的是,被吃了. Poj有道类似的: Mission 一个长度为n(1≤n≤24)的环由0,1,2组成,求有多少本质不同的环. 实际上,如果使用高精度,那么n可以到1e6级别 群 定义 一个集合G,以及一个二元运算∗. 并且满足: 封闭性 如果a∈G,b∈G,那么a∗b∈G 结合律 如果a∈G,b∈G,c∈G,那么a∗b∗c=a∗(b∗c) 存在单位元 存在c∈G,使得b∗c=c∗b=c 那么c就称为G的单位元. 类似于加法运算中…

传送门 如果我们把选出子图看成选出边,进而看成对边黑白染色,那么就是上一题的弱化版了,直接复制过来然后令\(m=2\)即可 不过直接交上去会T,于是加了几发大力优化 不知为何华丽的被小号抢了rank2 //minamoto #include<bits/stdc++.h> #define fp(i,a,b) for(register int i=a,I=b+1;i<I;++i) #define fd(i,a,b) for(register int i=a,I=b-1;i>I;--i)…

2287. [HZOI 2015]疯狂的机器人 题意:从原点出发,走n次,每次上下左右不动,只能在第一象限,最后回到原点方案数 这不煞笔提,组合数写出来发现卷积NTT,然后没考虑第一象限gg 其实就是卡特兰数 只不过这里\(C(i)\)是第\(\frac{i}{2}\)项,奇数为0 令\(f[n]\)为走n次回到原点方案数,\[ f[n]=\sum_{i=0}^{n}C(i)C(n-i)\binom{n}{i}=n!\sum_{i=0}^{n}C(i)\frac{1}{i!}C(n-i)\fra…

3027: [Ceoi2004]Sweet Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 71  Solved: 34 Description John得到了n罐糖果.不同的糖果罐,糖果的种类不同(即同一个糖果罐里的糖果种类是相同的,不同的糖果罐里的糖果的种类是不同的).第i个糖果罐里有 mi个糖果.John决定吃掉一些糖果,他想吃掉至少a个糖果,但不超过b个.问题是John 无法确定吃多少个糖果和每种糖果各吃几个.有多少种方法可以做这件事呢? I…

描述 http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1004 共n个卡片,染成r,b,g三种颜色,每种颜色的个数有规定.给出一些置换,可以由置换得到的染色方案视为等价的,求等价类计数. 分析 给出置换求等价类计数,用Burnside引理:等价类计数=(每一个置换不动点的和)/置换数.(不知道的建议去看白书) 其中不动点是指一个染色方案经过置换以后染色与之前完全相同. 1.求不动点个数. 不动点的话同一个循环内的每一个点的颜色必须相同(否则不同颜色…

[BZOJ1488][HNOI2009]图的同构(Burside引理,Polya定理) 题面 BZOJ 洛谷 题解 求本质不同的方案数,很明显就是群论这套理论了. 置换一共有\(n!\)个,考虑如何对于任意一个置换求不动点数量. 首先边存在或者不存在太麻烦了,我们假装所有边都已经存在,出现过的边和不存在的边用两种不同的颜色染色即可.这样子我们就假装所有的边都出现了,也就是一个完全图. 显然循环是对于点而论的,但是这题同构是对于边而论的.那么我们对于一个点的循环,考虑它的两个顶点.这两个顶点只有两…