先看一道例题:[POI2007]Zap BZOJ 洛谷 题目大意:$T$ 组数据,求 $\sum^n_{i=1}\sum^m_{j=1}[gcd(i,j)=k]$ $1\leq T\leq 50000,1\leq k\leq n,m\leq 50000$ 暴力做法 $O(Tnm\log\max(n,m))$ 不用说了,那有没有什么更好的做法呢? 我们定义一种函数叫莫比乌斯函数 $\mu$,它的定义是: 当 $n=1$ 时,$\mu(n)=1$ 当 $n$ 可以分解成 $p_1p_2...p_k$…

转载自An_Account大佬 提示:别用莫比乌斯反演公式,会炸的 只需要记住: [gcd(i,j)=1]=∑d∣gcd(i,j)μ(d)[gcd(i,j)=1]=\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d)[gcd(i,j)=1]=d∣gcd(i,j)∑?μ(d) 证明?其实很简单. μ\muμ函数有个性质 ∑d∣nμ(d)=[d=1]\sum_{d|n}\mu(d)=[d=1]d∣n∑?μ(d)=[d=1] 将ddd替换成gcd(i,j)gcd(i,j)gcd(i,j)就是上面的那个暂且可…

Part0 广告(当然没有广告费) P.S. 这篇文章是边学着边用Typora写的...学完了题A了blog也就呼之欲出了~有latex化式子也非常方便...非常建议喜欢Markdown的dalao们下载个~ Part1 莫比乌斯函数&&莫比乌斯反演 最近一直在做数论不是OvO 然后就一直有莫比乌斯反演这个坑没有填OvO 其实PoPoQQQ的课件已经看过不少遍了OvO 但是数论这东西不动手化式子还是不行的OvO 或许是我菜? 没错,莫比乌斯就是发现那个奇怪的扭曲的环的男人... 对于两个函…

哇..原来莫比乌斯代码这么短..顿时感觉逼格-- 写了这道题以后,才稍稍对莫比乌斯函数理解了一些 定理:和是定义在非负整数集合上的两个函数,并且满足条件,那么我们得到结论 在上面的公式中有一个函数,它的定义如下: (1)若,那么 (2)若,均为互异素数,那么 (3)其它情况下 那么在这道题的情况下,答案所求的是互异素数的乘积,利用容斥原理的思想我们可以发现:这与莫比乌斯函数恰巧是吻合的 首先二分答案(这里一开始我想错了,我一直在想二分选取质数的上界,然后怎么就搞不出来了..) 首先有一个奇怪的证…

2301: [HAOI2011]Problem b Time Limit: 50 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 4032  Solved: 1817[Submit][Status][Discuss] Description 对于给出的n个询问,每次求有多少个数对(x,y),满足a≤x≤b,c≤y≤d,且gcd(x,y) = k,gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数. Input 第一行一个整数n,接下来n行每行五个整数,分别表示a.b.c.d.k Outp…

[BZOJ3994]约数个数和(莫比乌斯反演) 题面 求\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^md(ij)\] 多组数据\((<=50000组)\) \(n,m<=50000\) 其中\(d(x)\)是\(x\)的约数个数 题解 orz ZSY 巨佬 根据玄学(我也不知道为什么)的公式 \[d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)==1]\] 所以,所求等于 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{u|i}\sum_{v|j}[…

[BZOJ2440]完全平方数(二分答案,莫比乌斯反演) 题面 BZOJ 题解 很显然,二分一个答案 考虑如何求小于等于这个数的非完全平方数倍数的个数 这个明显可以直接,莫比乌斯反演一下 然后这题就很简单了 #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> #includ…

最近重新系统地学了下这几个知识点,以前没发现他们的联系,这次总结一下. 莫比乌斯反演入门:https://blog.csdn.net/litble/article/details/72804050 线性筛筛常见积性函数及其代码:https://blog.masterliu.net/algorithm/sieve/ 积性函数与线性筛(包括普通线性函数):https://blog.csdn.net/weixin_42562050/article/details/87997582 bzoj2154/b…

2440: [中山市选2011]完全平方数 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 2371  Solved: 1143[Submit][Status][Discuss] Description 小 X 自幼就很喜欢数.但奇怪的是,他十分讨厌完全平方数.他觉得这些数看起来很令人难受.由此,他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数.然而这丝毫不影响他对其他数的热爱. 这天是小X的生日,小 W 想送一个数给他作为生日礼物.当然他不能送一个小X讨厌…

Description 给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对. Input 一个整数N Output 如题 Sample Input 4 Sample Output 4 Hint 对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2) 1<=N<=10^7 这个题目可以用欧拉函数或者莫比乌斯反演. 第一种欧拉函数: 因为gcd(x, y) = p,所以gcd(x/p, y/p) = 1. 不妨设y较大,那么就是求所有比y/p小的数k,ph…