洛谷题面传送门 二项式反演好题. 首先看到"恰好 \(k\) 个极大值点",我们可以套路地想到二项式反演,具体来说我们记 \(f_i\) 为钦定 \(i\) 个点为极大值点的方案数,那么 \[ans=\dfrac{1}{(nml)!}\sum\limits_{i=k}^{\min(n,m,l)}f_i(-1)^{i-k}\dbinom{i}{k} \] 考虑怎么求 \(f_i\),首先我们肯定要选出 \(i\) 个极大的位置.我们假设 \(g_i\) 为选出 \(i\) 个极大的位置的…

题意:小球排成一排,从m种颜色中选取k种颜色给n个球上色,要求相邻的球的颜色不同,求可行的方案数,答案模1e9+7.T组数据,1<= n, m <= 1e9, 1 <= k <= 1e6, k <= n, m 分析: a(k)表示用不超过k种颜色染n个位置,两两相邻颜色不相同的总数,很简单a(k)=k(n-1)^(k-1) b(k)表示恰好用k种颜色 很显然a(k)=ΣC(k,i)b(i),我们知道a,想知道b,这里就用到二项式反演 那么b(k)=ΣC(k,i)*i*(-1)…

分析 感觉这道题的计数方法好厉害.. 一个直观的思路是,把题目转化为求至少有\(k\)个极大的数的概率. 考虑这样一个事实,如果钦定\((1,1,1),(2,2,2),...,(k,k,k)\)是那\(k\)个极大值的位置,并且\(val(1,1,1) < val(2,2,2) < ... < val(k,k,k)\).我们考虑依次确定这些值,显然\(val(1,1,1)\)的值是和它至少有一维相同的\(n \times m \times l - (n-1) \times (m-1) \…

题目:传送门. 题意:t组数据,每组给定n,m,k.有n个格子,m种颜色,要求把每个格子涂上颜色且正好适用k种颜色且相邻的格子颜色不同,求一共有多少种方案,结果对1e9+7取余. 题解: 首先可以将m 与后面的讨论分离.从m 种颜色中取出k 种颜色涂色,取色部分有C(m, k) 种情况: 然后通过尝试可以发现,第一个有k种选择,第二个因不能与第一个相同,只有(k-1) 种选择,第三个也只需与第二个不同,也有(k-1) 种选择.总的情况数为k ×(k-1)^(n-1).但这仅保证了相邻颜色不同,总…

题目链接:LA-7040 题意为用m种颜色给n个格子染色.问正好使用k种颜色的方案有多少. 首先很容易想到的是\( k * (k-1)^{n-1}\),这个算出来的是使用小于等于k种颜色给n个方格染色的方案数. 我们希望求得的是使用正好k种颜色给n个方格染色的方案数,简单的想法是,直接减去小于等于k-1种颜色的方案数. 但是,要计算使用小于等于k-1种颜色染色的方案数,不能直接减去\(C_{k}^{k-1} * (k-1) * (k-2)^{n-1}\),原因是会有重复的部分. 我们用\(S_{…

题目传送门 题意:n盆花涂色,相邻不能涂相同的颜色,从m中颜色选取k种颜色涂,保证正好有k种颜色 分析:从m中颜色选取k种就是C (m, k),然后第一个有k种选择,之后的都有k-1种选择,这样是不超过k种颜色的方案,那么减去少了Ai颜色的方案数,用容斥原理,最后答案是C(m,k) × ( k × (k-1)^(n-1) + ∑((-1)^p × C(k, p) × p × (p-1)^(n-1) ) (2 <= p <= k-1): #include <cstdio> #incl…

链接:vjudge 题目大意:有一排方格共 $n$ 个,现在有 $m$ 种颜色,要给这些方格染色,要求相邻两个格子的颜色不能相同.现在问恰好用了 $k$ 种颜色的合法方案数.答案对 $10^9+7$ 取模.$T$ 组数据. $1\le T\le 300,1\le n,m\le 10^9,1\le k\le 10^6,k\le \min(n,m)$.大多数数据中 $k$ 很小.(smg啊……) 经典的二项式反演例题. 我们令 $f(x)$ 为一共有 $x$ 种颜色,恰好用了 $x$ 种颜色的方案数…

http://codeforces.com/contest/111/problem/D Little Petya loves counting. He wants to count the number of ways to paint a rectangular checkered board of size n × m (n rows, m columns) in k colors. Besides, the coloring should have the following proper…

终于讲到反演定理了,反演定理这种东西记一下公式就好了,反正我是证明不出来的~(-o￣▽￣)-o 首先,著名的反演公式 我先简单的写一下o(￣ヘ￣*o) 比如下面这个公式 f(n) = g(1) + g(2) + g(3) + ... + g(n) 如果你知道g(x),蓝后你就可以知道f(n)了 如果我知道f(x),我想求g(n)怎么办 这个时候,就有反演定理了 反演定理可以轻松的把上面的公式变为 g(n) = f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n) 当然,我写的只是个形式…

//待更qwq 反演原理 二项式反演 若 \[g_i=\sum_{j=1}^i {\binom ij} f_j\] , 则有 \[ f_i=\sum_{j=1}^i (-1)^{i-j} {i \choose j} g_j \] 同时, 若 \[g_i=\sum_{j=1}^i (-1)^j {i \choose j} f_j\] , 则有 \[f_i=\sum_{j=1}^i (-1)^j {i \choose j} g_j\] 通过反演原理和组合数的性质不难证明. 0/1? todo Sti…