源自 ditoly 大爷的 FJ 省队集训课件 Statement 有 \(m\) 个正整数变量,求有多少种取值方案 使得所有变量的和不超过 \(S\) 并且前 \(n\) 个变量的值都不超过 \(t\) 答案对 \(10^9+7\) 取模 \(m-n\le1000\) ,\(m\le 10^9\) ,\(t\le 10^5\) ,\(nt\le s\le 10^{18}\) Solution 由于 \(nt\le s\le 10^{18}\) ,所以我们的解可以表示成: \[\sum_{x_1…

全域多项式插值指的是在整个插值区域内形成一个多项式函数作为插值函数.关于多项式插值的基本知识,见“计算基本理论”. 在单项式基插值和牛顿插值形成的表达式中,求该表达式在某一点处的值使用的Horner嵌套算法啊,见"Horner嵌套算法". 1. 单项式(Monomial)基插值 1)插值函数基 单项式基插值采用的函数基是最简单的单项式:$$\phi_j(t)=t^{j-1}, j=1,2,...n;\quad f(t)=p_{n-1}(t)=x_1+x_2t+x_3t^2+...x_n…

LINK:calc 容易得到一个nk的dp做法 同时发现走不通了 此时可以考虑暴力生成函数. 不过化简那套不太熟 且最后需要求多项式幂级数及多项式exp等难写的东西. 这里考虑观察优化dp的做法. 不容易看出 f(n,k)是关于k的2n+1次多项式. 证明可以用数学归纳法证明 且还可以从非常规律的转移中看出这应该是一个形似多项式的东西. 可以直接O(n)拉格朗日插值 不过这里懒得写因为 外面dp是\(n^2\)求点值的所以这里没必要O(n). 注意初始化. const ll MAXN=1010;…

LINK:P5667 拉格朗日插值2 给出了n个连续的取值的自变量的点值 求 f(m+1),f(m+2),...f(m+n). 如果我们直接把f这个函数给插值出来就变成了了多项式多点求值 这个难度好像有点大. 不妨 直接考虑拉格朗日插值. 设此时要求f(k) 那么则有 \(\sum_{i=0}^nf(i)\frac{\Pi_{i\neq j}(k-j)}{\Pi_{i\neq j} (i-j)}\) 可以化简一下 \(f(k)=\sum_{i=0}^nf(i)\frac{ \Pi_{i\neq…

LINK:成绩比较 大体思路不再赘述 这里只说几个我犯错的地方. 拉格朗日插值的时候 明明是n次多项式 我只带了n个值进去 导致一直GG. 拉格朗日插值的时候 由于是从1开始的 所以分母是\((i-1)!(n-1)\) 但是一直写成i! 心态炸裂. 还有就是 明明是分母 要求逆啊 直接乘 然后人没了. 最后是 关于答案的统计 由于被碾压的同学 每一科分数永远小于B神 所以 可以不考虑顺序的 将成绩分配给他们. 而 没有被碾压的同学 不可以直接分配 对于每一种方案来说 他们都是可以选择自由分配的…

题面传送门 考虑容斥.我们记 \(a_i\) 为钦定 \(i\) 个人被 B 神碾压的方案数,如果我们已经求出了 \(a_i\) 那么一遍二项式反演即可求出答案,即 \(ans=\sum\limits_{i=k}^{n-1}a_i(-1)^{i-k}\dbinom{i}{k}\),于是现在问题转化为怎样求 \(a_i\).首先我们肯定要从另外 \(n-1\) 个学生中选出这 \(i\) 个,方案数 \(\dbinom{n-1}{i}\),其次,根据"碾压"的定义,这 \(i\) 个学生…

The Sum of the k-th Powers There are well-known formulas: , , . Also mathematicians found similar formulas for higher degrees. Find the value of the sum modulo 109 + 7 (so you should find the remainder after dividing the answer by the value 109 + 7).…

常系数齐次线性递推 具体记在笔记本上了,以后可能补照片,这里稍微写一下,主要贴代码. 概述 形式: \[ h_n = a_1 h_{n-1}+a_2h_{n-2}+...+a_kh_{n-k} \] 矩阵乘法是\(O(k^3 \log n)\) 利用特征多项式可以做到\(O(k^2\log n)\) 特征多项式 特征值和特征向量 特征多项式 \[ f(\lambda) = \mid M - \lambda I\mid \] 是关于\(\lambda\)的\(n\)次多项式 根据\(Cayley-…

题目大意 ​ 有一个\(n\)个点\(m\)条边的图,每条边有一种颜色\(c_i\in\{1,2,3\}\),求所有的包括\(i\)条颜色为\(1\)的边,\(j\)条颜色为\(2\)的边,\(k\)条颜色为\(3\)的边的生成树的数量. ​ 对\({10}^9+7\)取模. ​ \(n\leq 50\) 题解 ​ 如果\(\forall i,c_i=1\),就可以直接用基尔霍夫矩阵计算生成树个数.但是现在有三种颜色,不妨设\(c_i=2\)的边的边权为\(x\),\(c_i=3\)的边的边权为…

题目大意 ​ 一个序列\(a_1,\ldots,a_n\)是合法的,当且仅当: ​ 长度为给定的\(n\). ​ \(a_1,\ldots,a_n\)都是\([1,m]\)中的整数. ​ \(a_1,\ldots,a_n\)互不相等. ​ 一个序列的值定义为它里面所有数的乘积,即\(a_1\times a_2\times\cdots\times a_n\). 求所有不同合法序列的值的和. ​ 两个序列不同当且仅当他们任意一位不一样. ​ 输出答案对一个数\(p\)取余的结果. \(n\leq50…