最优化：凸集、凸函数、KKT条件极其解释

支持向量机（SVM）必备概念(凸集和凸函数，凸优化问题，软间隔，核函数，拉格朗日乘子法，对偶问题，slater条件、KKT条件）

SVM目前被认为是最好的现成的分类器,SVM整个原理的推导过程也很是复杂啊,其中涉及到很多概念,如:凸集和凸函数,凸优化问题,软间隔,核函数,拉格朗日乘子法,对偶问题,slater条件.KKT条件还有复杂的SMO算法! 相信有很多研究过SVM的小伙伴们为了弄懂它们也是查阅了各种资料,着实费了不少功夫!本文便针对SVM涉及到的这些复杂概念进行总结,希望为大家更好地理解SVM奠定基础(图片来自网络). 一.凸集和凸函数在讲解凸优化问题之前我们先来了解一下凸集和凸函数的概念凸集:在点集拓扑学与欧几…

最优化 KKT条件

对于约束优化问题: 拉格朗日公式: 其KKT条件为: 求解 x.α.β 其中β*g(x)为互补松弛条件 KKT条件是使一组解成为最优解的必要条件,当原问题是凸问题的时候,KKT条件也是充分条件.…

机器学习——支持向量机(SVM)之拉格朗日乘子法，KKT条件以及简化版SMO算法分析

SVM有很多实现,现在只关注其中最流行的一种实现,即序列最小优化(Sequential Minimal Optimization,SMO)算法,然后介绍如何使用一种核函数(kernel)的方式将SVM扩展到更多的数据集上. 1.基于最大间隔分隔数据几个概念: 1.线性可分(linearly separable):对于图6-1中的圆形点和方形点,如果很容易就可以在图中画出一条直线将两组数据点分开,就称这组数据为线性可分数据 2.分隔超平面(separating hyperplane):将数据集分…

深入理解拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件

[整理] 在求解最优化问题中,拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier)和KKT(Karush Kuhn Tucker)条件是两种最常用的方法.在有等式约束时使用拉格朗日乘子法,在有不等约束时使用KKT条件. 我们这里提到的最优化问题通常是指对于给定的某一函数,求其在指定作用域上的全局最小值(因为最小值与最大值可以很容易转化,即最大值问题可以转化成最小值问题).提到KKT条件一般会附带的提一下拉格朗日乘子.对学过高等数学的人来说比较拉格朗日乘子应该会有些印象.二者均是求解最优化…

装载：关于拉格朗日乘子法与KKT条件

作者:@wzyer 拉格朗日乘子法无疑是最优化理论中最重要的一个方法.但是现在网上并没有很好的完整介绍整个方法的文章.我这里尝试详细介绍一下这方面的有关问题,插入自己的一些理解,希望能够对大家有帮助.本文分为两个部分:第一部分是数学上的定义以及公式上的推导:第二部分主要是一些常用方法的直观解释.初学者可以先看第二部分,但是第二部分会用到第一部分中的一些结论.请读者自行选择. 拉格朗日乘子法的数学基础共轭函数对于一个函数f:Rn→R(不要求是凸函数),我们可以定义它的共轭函数f⋆:Rn→R为:…

真正理解拉格朗日乘子法和 KKT 条件

这篇博文中直观上讲解了拉格朗日乘子法和 KKT 条件,对偶问题等内容. 首先从无约束的优化问题讲起,一般就是要使一个表达式取到最小值: \[min \quad f(x)\] 如果问题是 $max \quad f(x)$ 也可以通过取反转化为求最小值 $min \quad-f(x)$,这个是一个习惯.对于这类问题在高中就学过怎么做.只要对它的每一个变量求导,然后让偏导为零,解方程组就行了. 极值点示意图所以在极值点处一定满足 \(\frac {df(x)}…

关于拉格朗日乘子法与KKT条件

关于拉格朗日乘子法与KKT条件关于拉格朗日乘子法与KKT条件目录拉格朗日乘子法的数学基础共轭函数拉格朗日函数拉格朗日对偶函数目标函数最优值的下界拉格朗日对偶函数与共轭函数的联系拉格朗日对偶问题如何显式的表述拉格朗日对偶问题由定义消去下确界隐式求解约束共轭函数法弱对偶强对偶原始问题与对偶问题的关系最优条件互补松弛条件 KKT条件一般问题的KKT条件凸问题的KKT条件 KKT条件的用途拉格朗日乘数法的形象化解读等式约束的拉格朗日乘子法含有不等约束的情…

04-拉格朗日对偶问题和KKT条件

04-拉格朗日对偶问题和KKT条件目录一.拉格朗日对偶函数二.拉格朗日对偶问题三.强弱对偶的几何解释四.鞍点解释 4.1 鞍点的基础定义 4.2 极大极小不等式和鞍点性质五.最优性条件与 KKT 条件 5.1 KKT 条件 5.2 KKT 条件与凸问题六.扰动及灵敏度分析 6.1 扰动问题 6.2 灵敏度分析七.Reformulation 7.1 引入等式约束 7.2 显示约束与隐式约束的相互转化 7.3 转化目标函数与约束函数凸优化从入门到放弃完整教程地址:https://w…

机器学习——最优化问题：拉格朗日乘子法、KKT条件以及对偶问题

1 前言拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier) 和 KKT(Karush-Kuhn-Tucker) 条件是求解约束优化问题的重要方法,在有等式约束时使用拉格朗日乘子法,在有不等约束时使用 KKT 条件.当然,这两个方法求得的结果只是必要条件,只有当目标函数是凸函数的情况下,才能保证是充分必要条件. 1.1 最优化问题三种约束条件 1:无约束条件解决方法通常是函数对变量求导,令导函数等于0的点可能是极值点,将结果带回原函数进行验证. 2:等式约束条件设目标函数为 $f(…

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