数论_CRT(中国剩余定理)& Lucas (卢卡斯定理) 前言 又是一脸懵逼的一天. 正文 按照道理来说,我们应该先做一个介绍. 中国剩余定理 中国剩余定理,Chinese Remainder Theorem,又称孙子定理,给出了一元线性同余方程组的有解判定条件,并用构造法给出了通解的具体形式. 现在有方程组:中国剩余定理指出: 扩展中国剩余定理 在一般情况下,要求任两个数互质这个条件太苛刻了,CRT派不上用场,我们需要一个更具普遍性的结论,这就是EX-CRT.虽然是称为EX-CRT,但这个定…

题目链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P2480 题目背景 “在那山的那边海的那边有一群小肥猪.他们活泼又聪明,他们调皮又灵敏.他们自由自在生活在那绿色的大草坪,他们善良勇敢相互都关心……” ——选自猪王国民歌 很久很久以前,在山的那边海的那边的某片风水宝地曾经存在过一个猪王国.猪王国地理位置偏僻,实施的是适应当时社会的自给自足的庄园经济,很少与外界联系,商贸活动就更少了.因此也很少有其他动物知道这样一个王国. 猪王国虽然不大,但是土地肥沃,屋舍俨…

Unknown Treasure Time Limit: 1500/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 131072/131072 K (Java/Others)Total Submission(s): 2389    Accepted Submission(s): 885 Problem Description On the way to the next secret treasure hiding place, the mathematician…

[bzoj1951]: [Sdoi2010]古代猪文 因为999911659是个素数 欧拉定理得 然后指数上中国剩余定理 然后分别lucas定理就好了 注意G==P的时候的特判 /* http://www.cnblogs.com/karl07/ */ #include <cstdlib> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #include <algorithm> using…

链接: hdu 5446 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5446 题意: 给你三个数$n, m, k$ 第二行是$k$个数,$p_1,p_2,p_3 \cdots p_k$ 所有$p$的值不相同且p都是质数 求$C(n, m) \ \%\  (p_1*p_2*p_3* \cdots *p_k)$的值 范围:$1\leq m\leq n\leq 1e18,\ 1\leq k\leq 10,p_i\leq 1e5$,保证$p_1*p_2*p_3*…

题目链接 求C(n, m)%p的值, n, m<=1e18, p = p1*p2*...pk. pi是质数. 先求出C(n, m)%pi的值, 然后这就是一个同余的式子. 用中国剩余定理求解. #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <cmath> using namespace std; #define l…

1079 中国剩余定理 一个正整数K,给出K Mod 一些质数的结果,求符合条件的最小的K.例如,K % 2 = 1, K % 3 = 2, K % 5 = 3.符合条件的最小的K = 23. 收起 输入 第1行:1个数N表示后面输入的质数及模的数量.(2 <= N <= 10) 第2 - N + 1行,每行2个数P和M,中间用空格分隔,P是质数,M是K % P的结果.(2 <= P <= 100, 0 <= K < P) 输出 输出符合条件的最小的K.数据中所有K均小…

Lucas: 卢卡斯定理说白了只有一条性质 $$ C^n_m \equiv C^{n/p}_{m/p} \times C^{n \bmod p}_{m \bmod p} \ (mod \ \ p) $$ 用于 m,n 很大时快速求组合数.(p 为质数) CODE: long long Lucas(long long n,long long m){ ); ; if(n<p&&m<p)return fac[n]*inv[n-m]%p*inv[m]%p; return Lucas(n…

Lucas定理 先上结论: 当p为素数: \(\binom{ N }{M} \equiv \binom{ N/p }{M/p}*\binom{ N mod p }{M mod p} (mod p)\) 证明:令 \(s=\lfloor \frac{n}{p} \rfloor\),\(q=n\bmod p\),\(t=\lfloor \frac{m}{p} \rfloor\),\(r=m \bmod p\). 需证明 \(\binom{sp+q}{tp+r}\equiv \binom{s}{t}\…

当$p$为素数时 $$C_n^m\equiv C_{n/p}^{m/p}*C_{n\%p}^{m\%p}(mod\ p)$$ 设$n=s*p+q,m\equiv t*p+r(q,r<=p)$ 我们要证$C_{s*p+q}^{t*p+r}\equiv C_s^t*C_q^r$ 首先得有个前置知识,费马小定理$x^p\equiv x(mod\ p)$ 那么$(x+1)^p\equiv x+1(mod\ p)$ 且$x^p+1\equiv x+1(mod\ p)$ 所以$(x+1)^p\equiv x…