P6295 有标号 DAG 计数 题意 求 \(n\) 个点有标号弱联通 DAG 数量. 推导 设 \(f_i\) 表示 \(i\) 个点有标号 DAG 数量(不保证弱联通),有: \[f(i)=\sum_{j=1}^i\binom ij(-1)^{j-1}f(i-j)2^{j(i-j)} \] 意义为选至少 \(j\) 个度数为零的点,向剩下的 \(i-j\) 个点随便连有向边,容斥一下就得到了上式. 下面进行推导.根据一个 trick: \[j(i-j)=\binom i2-\binom j…

FFT #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<cstdio> #include<cmath> #include<algorithm> #define maxn 1000005 using namespace std; inline int read() { ,f=;char ch=getchar(); ; +ch-'; return x*f; }…

正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6295 题目大意 求所有\(n\)个点的弱联通\(DAG\)数量. \(1\leq n\leq 10^5\) 解题思路 先不考虑弱联通的限制,求\(n\)个点的\(DAG\)数量. 设为\(f_i\),那么有式子 \[f_n=\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}2^{i(n-i)}f_{n-i}(-1)^{i+1} \] 这个式子的意思是说新建一层出度为\(0\)的点,\(\binom{n}{i…

题解 分治FFT 设\(f_i\)为\(i\)个点组成的无向图个数,\(g_i\)为\(i\)个点组成的无向连通图个数 经过简单的推导(枚举\(1\)所在的连通块大小),有: \[ f_i=2^{\frac{i(i-1)}{2}} \] \[ \begin{align} g_i&=f_i-\sum_{j=1}^{i-1}\binom{n-1}{j-1}g_jf_{i-j}\\ &=f_i-(i-1)!\sum_{j=1}^{i-1}\frac{g_j}{(j-1)!}\frac{f_{i-…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3456 分治FFT: 设 dp[ i ] 表示 i 个点时连通的方案数. 考虑算补集:连通的方案数 == 随便连方案数 - 不连通方案数 不连通方案数就和很久之前做过的“地震后的幻想乡”一样,枚举一个连通的点集,其中需要一直包含一个“划分点”保证不重复:其余部分随便连.注意还有从 i 个点里选 j 个点作为连通点集的那个组合数. \( dp[i]=2^{C^{2}_{i}} - \sum\l…

定义多项式$h(x)$的每一项系数$h_i$,为i在c[1]~c[n]中的出现次数. 定义多项式$f(x)$的每一项系数$f_i$,为权值为i的方案数. 通过简单的分析我们可以发现:$f(x)=\frac{2}{\sqrt{1-4h(x)}+1}$ 于是我们需要多项式开方和多项式求逆. 多项式求逆: 求$B(x)$,使得$A(x)*B(x)=1\;(mod\;x^m)$ 考虑倍增. 假设我们已知$A(x)*B(x)=1\;(mod\;x^m)$,要求$C(x)$,使得$A(x)*C(x)=1\;…

传送门 codeforces传送门codeforces传送门codeforces传送门 生成函数好题. 卡场差评至今未过 题意简述:nnn个点的二叉树,每个点的权值KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '\inC' at position 4: v_i\̲i̲n̲C̲=\{a_1,a_2,...a-,定义一棵树的权值为所有点的权值之和,问有多少棵树满足其权值等于i(i=1,2,...,m)i(i=1,2,...,m)i(i=1,2,...,m) 对每个点的…

首先,我们构造一个函数$G(x)$,若存在$k∈C$,则$[x^k]G(x)=1$. 不妨设$F(x)$为最终答案的生成函数,则$[x^n]F(x)$即为权值为$n$的神犇二叉树个数. 不难推导出,$[x^n]F(x)=\sum_{i=0}^{n}[x^i]G(x)\sum_{j=0}^{n-i}[x^j]F(j)\times [x^{n-j-i}]F(n-j-i)$. (这个式子的意思就是说,不妨设当前根节点的权值为i,然后枚举左右两个子树的权值) 这个式子显然可以通过动规的方式去推,从而得出…

题面 传送门 思路 首先,我们把这个输入的点的生成函数搞出来: $C=\sum_{i=0}^{lim}s_ix^i$ 其中$lim$为集合里面出现过的最大的数,$s_i$表示大小为$i$的数是否出现过 我们再设另外一个函数$F$,定义$F_k$表示总权值为$k$的二叉树个数 那么,一个二叉树显然可以通过两个子树(可以权值为0,也就是空子树)和一个节点构成 那么有如下求$F$的式子 $F_0=1$ $F_k=\sum_{i=0}^k s_i \sum_{j=0}^{k-i} F_j F_{k-i-…

洛谷题面传送门 看到图计数的题就条件反射地认为是不可做题并点开了题解--实际上这题以我现在的水平还是有可能能独立解决的( 首先连通这个条件有点棘手,我们尝试把它去掉.考虑这题的套路,我们设 \(f_n\) 表示 \(n\) 个点的有标号 DAG 个数,\(g_n\) 表示 \(n\) 个点的有标号且弱联通的 DAG 个数,那么根据 \(\exp\) 式子的计算方式我们可以列出 \(f,g\) 生成函数之间的 exp 关系,又因为这题带标号,所以有: Trick 1. 对于有标号图连通图计数问题,…

生成函数又有奇妙的性质. $F(x)=C(x)*F(x)*F(x)+1$ 然后大力解方程,得到一个带根号的式子. 多项式开根有解只与常数项有关. 发现两个解只有一个是成立的. 然后多项式开根.求逆. 不太会算复杂度为什么是$n\log {n}$的. 开根号里套了一个求逆,不应该是两个$\log$? #include <map> #include <cmath> #include <queue> #include <cstdio> #include <c…

城市规划 时间限制:40s      空间限制:256MB 题目描述 刚刚解决完电力网络的问题, 阿狸又被领导的任务给难住了.  刚才说过, 阿狸的国家有n个城市, 现在国家需要在某些城市对之间建立一些贸易路线, 使得整个国家的任意两个城市都直接或间接的连通. 为了省钱, 每两个城市之间最多只能有一条直接的贸易路径. 对于两个建立路线的方案, 如果存在一个城市对, 在两个方案中是否建立路线不一样, 那么这两个方案就是不同的, 否则就是相同的. 现在你需要求出一共有多少不同的方案.  好了, 这就…

题目大意 给定n种权值 给定m \(F_i表示权值和为i的二叉树个数\) 求\(F_1,F_2...F_m\) 分析 安利博客 \(F_d=F_L*F_R*C_{mid},L+mid+R=d\) \(F(x)=\frac {1+\sqrt{1-4C(x)}}{2C(x)}=\frac 2{1-\sqrt{1-4C(x)}}\) 无解是因为\(x=0\)时\(F(x)=1\) 但是\(\lim\limits_{x\rightarrow 0}\)时\(1-\sqrt{1-4C(x)}趋于0\) \(…

Code: #include<bits/stdc++.h> #define maxn 300000 #define ll long long #define MOD 998244353 #define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) ,freopen(s".out","w",stdout) using namespace std; namespace poly{ #define…

思路: RT //By SiriusRen #include <bits/stdc++.h> using namespace std; <<,mod=; int A[N],C[N],invC[N],c[N],d[N],R[N],tmp[N],xx,len,sqrA[N],F[N]; typedef long long ll; int power(ll x,int y){ ll res=; while(y){ )res=res*x%mod; x=x*x%mod,y>>=;…

4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和 题意:求\[ \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^i S(i,j)\cdot 2^j\cdot j! \\ S是第二类斯特林数 \] 首先你要把这个组合计数肝出来,于是我去翻了一波<组合数学> 用斯特林数容斥原理推导那个式子可以直接出卷积形式,见下一篇,本篇是分治fft做法 组合计数 斯特林数 \(S(n,i)\)表示将n个不同元素划分成i个相同集合非空的方案数 Bell数 \(B(n)=\sum\limits_{i=…

有标号DAG计数 题目在COGS上 [HZOI 2015]有标号的DAG计数 I [HZOI 2015] 有标号的DAG计数 II [HZOI 2015]有标号的DAG计数 III I 求n个点的DAG(可以不连通)的个数.\(n \le 5000\) 2013年王迪的论文很详细了 感觉想法很神,自己怎么想到啊? 首先要注意到DAG中一类特殊的点:入度为0的点.以这些点来分类统计 先是一种\(O(N^3)\)的dp, \(d(i,j)\) i个点j个入度为0,转移枚举去掉j个后入度为0点的个数,…

写在前面的话 昨天听吕老板讲课,数数题感觉十分的神仙. 于是,ErkkiErkko这个小蒟蒻也要去学数数题了. 分析 Miskcoo orz 带标号无向连通图计数. \(f(x)\)表示\(x\)个点的带标号无向连通图的个数.弱化限制条件,令\(g(x)\)表示\(x\)个点的带标号无向图的个数(不要求连通). 考虑每条边是否出现,显然有: \[g(x)=2^{\binom{x}{2}}\] 考虑编号为\(1\)的结点所在连通块的大小,有: \[g(x)=\sum_{i=1}^{x}\binom…

有标号DAG计数(生成函数) luogu 题解时间 首先考虑暴力,很容易得出 $ f[ i ] = \sum\limits_{ j = 1 }^{ i } ( -1 )^{ j - 1 } \binom{ i }{ j } 2^{ j( i - j ) } f[ i-j ] $ . 相当于枚举度数为0的节点的个数,向不在这个集合里的点任意连边,之后需要容斥. 考虑如何优化. $ j(i-j) = \frac{ i^{ 2 } }{ 2 } - \frac{ j^{ 2 } }{ 2 } - \f…

题面 求有 \(n\) 个点的无向有标号连通图个数 . \((1 \le n \le 1.3 * 10^5)\) 题解 首先考虑 dp ... 直接算可行的方案数 , 容易算重复 . 我们用总方案数减去不可行的方案数就行了 (容斥) 令 \(f_i\) 为有 \(i\) 个点的无向有标号连通图个数 . 考虑 \(1\) 号点的联通块大小 , 联通块外的点之间边任意 但 不能与 \(1\) 有间接联系 . 那么就有 \[\displaystyle f_i = 2^{\binom i 2} - \s…

Description 求\(~n~\)个点组成的有标号无向连通图的个数.\(~1 \leq n \leq 13 \times 10 ^ 4~\). Solution 这道题的弱化版是poj1737, 其中\(n \leq 50\), 先来解决这个弱化版的题.考虑\(~dp~\),直接统计答案难以入手,于是考虑容斥.显然有,符合条件的方案数\(=\)所有方案数\(-\)不符合条件的方案数,而这个不符合条件的方案数就是图没有完全联通的情况.设\(~dp_i~\)表示\(~i~\)个点组成的合法方案…

[题意]求n个点的带标号无向连通图个数 mod 1004535809.n<=130000. [算法]动态规划+多项式求逆 [题解]设$g_n$表示n个点的无向图个数,那么显然 $$g_n=2^{\frac{n(n-1)}{2}}$$ 设$f_n$表示n个点的无向连通图个数,通过枚举1号点所属连通块大小很容易得到$g_n$的等式: $$g_n=\sum_{i=1}^{n}\binom{n-1}{i-1}*f_i*g_{n-i}$$ 特别的,$g_0=1$. 将组合数拆分一下,即可得到: $$\fr…

题目链接 BZOJ3456 题解 之前我们用分治\(ntt\)在\(O(nlog^2n)\)的复杂度下做了这题,今天我们使用多项式求逆 设\(f_n\)表示\(n\)个点带标号无向连通图数 设\(g_n\)表示\(n\)个点图的数量,显然\(g_n = 2^{{n \choose 2}}\) 枚举\(1\)号点所在联通块大小,我们有 \[g_n = \sum\limits_{i = 1}^{n} {n - 1 \choose i - 1}f_{i}g_{n - i}\] 代入\(g_n\) \[…

题面 bzoj权限题面 离线题面 思路 orz Miskcoo ! 先考虑怎么算这个图的数量 设$f(i)$表示$i$个点的联通有标号无向图个数,$g(i)$表示$n$个点的有标号无向图个数(可以不连通) 那么,显然因为$n$个点有$\binom{n}{2}$条边可以选放不放,所以$g(n)=2^{\binom{n}{2}}$ 同时,我们考虑枚举标号为$1$的点所在的联通块大小,以此用$f$来表示$g$ 那么,显然可以得到以下式子: $g(n)=\sum_{i=1}^{n-1}\binom{n-…

传送门 两个序列相同当且仅当它们的笛卡尔树相同,于是变成笛卡尔树计数. 然后注意到每一个点的权值一定会比其左儿子的权值大,所以笛卡尔树上还不能够存在一条从根到某个节点的路径满足向左走的次数\(> m-1\).不难证明只需这个条件以及\(n \geq m\)的条件满足,一定存在一种权值分配方案使得\(1\)到\(m\)都被分配到. 不妨设\(F_i(x)\)表示向左走的次数小于\(i\)的笛卡尔树数量的生成函数,即\(f_{i,j}\)表示\(j\)个点.向左走的次数小于\(i\)的笛卡尔树的数量…

传送门 解题思路 这道题就是求带标号的无向连通图个数,首先考虑\(O(n^2)\)的做法,设\(f_i\)表示有\(i\)个节点的无向连通图个数,那么考虑容斥,先把所有的无向图求出,即为\(2^{C(n,2)}\),再减去不联通的情况,而计算不联通情况时可以枚举\(1\)号点这个联通块的大小,就有方程 \[f_i=2^{C_i^2}-\sum\limits_{j=1}^{i-1}C_{i-1}^{j-1}2^{C^2_{i-j}}f_j\] 发现这样的时间复杂度为\(O(n^2)\)的,无法通过…

hdu 5730 Shell Necklace 题意:求递推式\(f_n = \sum_{i=1}^n a_i f_{n-i}\),模313 多么优秀的模板题 可以用分治fft,也可以多项式求逆 分治fft 注意过程中把r-l+1当做次数界就可以了,因为其中一个向量是[l,mid],我们只需要[mid+1,r]的结果. 多项式求逆 变成了 \[ A(x) = \frac{f_0}{1-B(x)} \] 的形式 要用拆系数fft,直接把之前的代码复制上就可以啦 #include <iostream…

前言 emmm暂无 多项式求逆目的 顾名思义 就是求出一个多项式的摸xn时的逆 给定一个多项式F(x),请求出一个多项式G(x),满足F(x)∗G(x)≡1(modxn),系数对998244353取模. 多项式求逆主要思路 我们考虑用递推的做法 假设我们当前已知F(x)H(x)=1(mod xi/2) 要求的是F(x)Q(x)=1(mod xi) 因为F(x)Q(x)=1(mod xi) 所以F(x)Q(x)=1(mod xi/2) 可得F(x)(Q(x)-H(x))=0(mod xi/2) 显…

题意 链接 Sol Orz yyb 一开始想的是直接设\(f_i\)表示\(i\)个点的无向联通图个数,枚举最后一个联通块转移,发现有一种情况转移不到... 正解是先设\(g(n)\)表示\(n\)个点的无向图个数,这个方案是\(2^{\frac{i(i-1)}{2}}\)(也就是考虑每条边选不选) 考虑如何得到\(g\) \[g(n) = \sum_{i=0}^n C_{n-1}^{i-1}f(i) g(n-i)\] 直接将\(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\)带入然后化简一下可以得…

传送门 调了1h竟然是因为1004535809写成了998244353 "恰好有\(K\)种颜色出现了\(S\)次"的限制似乎并不容易达到,考虑容斥计算. 令\(c_j\)表示强制\(j\)种颜色恰好出现\(S\)次,其他颜色随意染的方案数.可以通过生成函数知道 \(\begin{align*} c_j &= \binom{m}{j} n! [x^n] (\frac{x^k}{k!})^j (\sum\limits_{i=0}^\infty \frac{x^i}{i!})^{m…