题意简述 求出这个式子 \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ij(i,j) \bmod p \] 做法 先用莫比乌斯反演拆一下式子 \[ \begin{split} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ij(i,j)&=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ij[(i,j)=d]\\ &=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\l…

题目链接 简单的数学题 题目描述 输入一个整数n和一个整数p,你需要求出 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n (i\cdot j\cdot gcd(i,j))\ mod\ p\]  其中\(gcd(a,b)\)表示\(a\)与\(b\)的最大公约数 输入 一行两个整数\(p,n\) 输出 一行一个整数,为题目中所求值 样例 样例输入 998244353 2000 样例输出 883968974 数据范围 \(n\leq 10^{10}\) \(5\times 10^8 \leq…

题目链接 \(Description\) 求\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\frac{lcm(i,j)}{gcd(i,j)}\] 答案对\(10^9+7\)取模. \(n<=10^9\) \(Solution\) 以前做的反演题都是\(j\)枚举到\(n\),但是现在\(j\)只枚举到\(i\)就非常难受,考虑怎么求\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{lcm(i,j)}{gcd(i,j)}\). 可以把它看成是一个\(n*n\)的网格,第\(i\…

首先由这样一个式子:\( d(ij)=\sum_{p|i}\sum_{q|j}[gcd(p,q)==1]\frac{pj}{q} \)大概感性证明一下吧我不会证 然后开始推: \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{p|i}\sum_{q|j}[gcd(p,q)==1]\frac{pj}{q} \] \[ \sum_{p=1}^{n}\sum_{q=1}^{n}[gcd(p,q)==1]\sum_{p|i}\sum_{q|j}\frac{pj}{q} \] \[…

题目大意:略 洛谷传送门 杜教筛入门题? 以下都是常规套路的变形,不再过多解释 $\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{N}ijgcd(i,j)$ $\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{N}ij\sum\limits_{d|gcd(i,j)}\varphi(d)$ $\sum\limits_{d=1}^{N} \varphi(d) \sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{…

[51NOD 1847]奇怪的数学题(莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛,第二类斯特林数) 题面 51NOD \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nsgcd(i,j)^k\] 其中\(sgcd\)表示次大公约数. 题解 明摆着\(sgcd\)就是在\(gcd\)的基础上除掉\(gcd\)的最小因数. 所以直接枚举\(gcd\). \[\begin{aligned} ans&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n sgcd(i,j)^k\\ &=\sum_{i=1…

[ 51nod 1847 ]奇怪的数学题 题目   点这里看题目. 分析   是挺奇怪的......   以下定义质数集合为\(P\),\(p_i\)为第\(i\)个质数.   定义\(mp(x)\)为\(x\)的最小质因子,则可以得到: \[sgcd(a,b)=\frac{\gcd(a,b)}{mp(\gcd(a,b))} \]   这个比较显然.然后可以娴熟地变换式子得到: \[\begin{aligned}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n sgcd(i,j)^k&=\sum…

[复习]莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛 莫比乌斯反演 做题的时候的常用形式: \[\begin{aligned}g(n)&=\sum_{n|d}f(d)\\f(n)&=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})g(d)\end{aligned}\] 实际上还有 \[\begin{aligned}g(n)&=\sum_{d|n}f(d)\\f(n)&=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})g(d)\end{aligned}\] 证明可以看看这里,…

题目描述 我们知道,从区间[L,H](L和H为整数)中选取N个整数,总共有(H-L+1)^N种方案.小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律,他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数,以便进一步研究.然而他很快发现工作量太大了,于是向你寻求帮助.你的任务很简单,小z会告诉你一个整数K,你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个.由于方案数较大,你只需要输出其除以1000000007的余数即可. 输入 输入一行,包含4个空格分开的正整数,依次为N,K,L和H. 输出 输出一个整数,为…

[BZOJ 3930] [CQOI 2015]选数(莫比乌斯反演+杜教筛) 题面 我们知道,从区间\([L,R]\)(L和R为整数)中选取N个整数,总共有\((R-L+1)^N\)种方案.求最大公约数刚好为K的选取方案有多少个.由于方案数较大,你只需要输出其除以1000000007的余数即可. \[N,K,L,H \leq 10^9,H-L \leq 10^5\] 分析 \(\because \gcd(ka,kb)=k\gcd(a,b)\),我们先把\(L,R\)除以\(K\),然后问题就变成了…