Lucas 定理(证明) A.B是非负整数,p是质数.AB写成p进制:A=a[n]a[n-1]...a[0],B=b[n]b[n-1]...b[0]. 则组合数C(A,B)与C(a[n],b[n])*C(a[n-1],b[n-1])*...*C(a[0],b[0])  mod p 相同 即:Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p) 证明: 首先我们注意到 n=(ak...a2,a1,a0)p  =  (ak...a2,a1)p * p + a0 =  [n…

lucas定理 p为素数 \[\dbinom n m\equiv\dbinom {n\%p} {m\%p} \dbinom {n/p}{m/p}(mod p)\] 左边一项直接求,右边可递归处理,不包含求组合数复杂度是\(log_p(m)\) 证明 我们记\(n=sp+q,m=tp+r,(q,r<p)\) \[\dbinom {sp+q} {tp+r} \equiv \dbinom {s} {t} \dbinom {q} {r} (mod p)\] 有这么一个性质\(\binom p d\equ…

[模板]卢卡斯定理/Lucas 定理 题目链接:luogu P3807 题目大意 求 C(n,n+m)%p 的值. p 保证是质数. 思路 Lucas 定理内容 对于非负整数 \(n\),\(m\),质数 \(p\),有: \(C_m^n\equiv \prod\limits_{i=0}^kC_{m_i}^{n^i}(\bmod\ p)\) 其中 \(m=m_kp^k+...+m_1p+m_0\),\(n=n_kp^k+...+n_1p+n_0\).(其实就是 \(n,m\) 的 \(p\) 进…

目录 什么是Lucas定理 证明Lucas定理 Lucas定理求解组合数的C++实现 什么是Lucas定理 这是一个有助于分解组合数来求解的定理,适合模数小,数字大的问题. 有质数 \(p\),对于\(n,m\),如果\(n=k_1p+b_1,m=k_2p+b_2\),有 \[C_n^m\equiv C_{k_1}^{k_2}C_{b_1}^{b_2} \pmod p \] 由此可以分解成较小的问题求解. 证明Lucas定理 这个证明利用了二项式定理的思路,前所未闻,真的很有趣. 根据二项式定理…

最近碰到一题,问你求mod (p1*p2*p3*……*pl) ,其中n和m数据范围是1~1e18 , l ≤10 , pi ≤ 1e5为不同的质数,并保证M=p1*p2*p3*……*pl ≤ 1e18 . 要解决这个问题首先需要Lucas定理 或者 C!解法. Lucas定理: 我们令n=sp+q , m=tp+r . q , r ≤ p 那么,然后你只要继续对调用Lucas定理即可. 代码可以递归的去完成这个过程,其中递归终点为t = 0 : 伪代码,时间O(logp(n)*p): int L…

Lucas定理 不会证明... 若\(p\)为质数 则\(C(n, m)\equiv C(n/p, m/p)*C(n\%p, m\%p)(mod\ p)\) 扩展 求 \(C(n,m)\) 模 \(M\) 意义下的值 令 \(M=\prod p_i^{a_i}\) 那么就只要求出模 \(p_i^{a_i}\) 的值,然后 \(CRT\) 合并即可 考虑求 \(C(n, m) \% p_i^{a_i}\) \[C(n,m)=\frac{n!}{m!(n-m)!}\] 首先可以把分子分母中 \(p_…

题意:n件礼物,送给m个人,每人的礼物数确定,求方案数. 解题关键:由于模数不是质数,所以由唯一分解定理, $\bmod  = p_1^{{k_1}}p_2^{{k_2}}......p_s^{{k_s}}$ 然后,分别求出每个组合数模每个$p_i^{{k_i}}$的值,这里可以用扩展lucas定理求解,(以下其实就是扩展lucas定理的简略证明) 关于$C_n^m\% {p^k}$, $C_n^m = \frac{{n!}}{{m!(n - m)!}}$, 我们以$n=19,p=3,k=2$为…

1.Lucas定理 首先给出式子:\(C_n^m\%p = C_{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}^{\lfloor\frac{m}{p}\rfloor} * C_{n\%p}^{m\%p}\% p\),其中p为质数. 这里给出证明--证明是我在luogu上看到的lance1ot大佬的证明,个人认为是写的很好的,在此还要做一下补充. 首先,对于质数p,可以保证\(C_p^i(1 <= i <= p-1) \equiv 0(mod\ p)\),这个比较显然,因为组合数一定是整…

http://codeforces.com/gym/100633/problem/J 其实这个解法不难学的,不需要太多的数学.但是证明的话,我可能给不了严格的证明.可以看看这篇文章 http://www.cnblogs.com/jianglangcaijin/p/3446839.html   膜拜 #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <cmath> #include…

2023.2.26[模板]扩展Lucas定理 题目概述 求\(\binom {n}{m} mod\) \(p\) 的值,不保证\(p\)为质数 算法流程 (扩展和普通算法毫无关系) 由于\(p\)不是质数,我们考虑[SDOI2010]古代猪文 - 洛谷中的处理方法:将\(p\)质因数分解得: \[p = {p_1}^{c_1}{p_2}^{c_2}{p_3}^{c_3}....{p_k}^{c_k} \] 所以我们考虑计算$\binom nm mod $ \({p_i}^{c_i}\)的值,再用…