Euclid 规则:如果x和y都是正整数,而且x>=y,那么gcd(x,y)=gcd(x mod y, y) 假设x和y的gcd为a,那么必然有 x=a*n1 y=a*n2(gcd(n1,n2)=1) 那么我们求 x mod y =>a*n1 mod a*n2 令x mod y=m,那么必然满足 x=n3*y+m =>a*n1=n3*a*n2+m =>m=a*(n1-n2*n3) 那么gcd(x mod y,y)就变成了gcd(a*(n1-n2*n3), a*n2), 如果gcd(…

求a,b的最大公约数我们经常用欧几里得算法解决,也称辗转相除法, 代码很简短, int gcd(int a,int b){ return (b==0)?a:gcd(b,a%b); } 但其中的道理却很深刻,完全理解不简单,以前都只是记一下代码,今天研究了很久,才差不多理解了其中的原因 从代码可以看出,gcd(a,b)=gcd(b,a%b),关键就在于证明这个等式 证明如下, 设c=gcd(a,b),则a=kc,b=nc(n,c为正整数), 设r=a%b,可得r=a-mb(m为a/b向下取整),…

求a,b的最大公约数我们经常用欧几里得算法解决,也称辗转相除法, 代码很简短, int gcd(int a,int b){ return (b==0)?a:gcd(b,a%b); } 但其中的道理却很深刻,完全理解不简单,以前都只是记一下代码,今天研究了很久,才差不多理解了其中的原因 从代码可以看出,gcd(a,b)=gcd(b,a%b),关键就在于证明这个等式 证明如下, 设c=gcd(a,b),则a=kc,b=nc(n,c为正整数), 设r=a%b,可得r=a-mb(m为a/b向下取整),…

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证:$a > b$ 且 $gcd(a,b)=1$,有 $gcd(a^n-b^n, a^m-b^m) = a^{gcd(n, m)} - b^{gcd(n,m)}$. 证明: 假设 $n > m$,$r = n \% m$. 根据辗转相除法, $a^n - b^n = (a^m-b^m)(a^{n-m} + a^{n-2m}b^m + ...+) + a^rb^{n-r} - b^n$, $gcd(a^n-b^n, a^m-b^m) = gcd(a^m-b^m, a^rb^{n-r}-b^n)…

我们来安利一个黑科技.(其实是Claris安利来的 比如我现在有一坨询问,每次询问两个不超过n的数的gcd. n大概1kw,询问大概300w(怎么输入就不是我的事了,大不了交互库 http://mimuw.edu.pl/~kociumaka/files/stacs2013_slides.pdf http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2013/3938/pdf/26.pdf 恩这篇paper里面发了一种预处理O(n)询问O(1)的gcd方法 我们定义一个数…

E:even 奇数  O:odd 偶数 若(a,b)为(e,e),则gcd(a,b)=2*gcd(a/2,b/2) 若(a,b)为(e,o),则gcd(a,b)=gcd(a/2,b) 若(a,b)为(o,o)[a>=b],则gcd(a,b)=gcd(a,b-a) 证明: I.若a=c*d b=c*e 则gcd(a,b)=c*gcd(d,e) 这里c=2. 证明: 对于第一个质数,c拥有该质数的个数为ci,d拥有该质数的个数为di,e拥有该质数的个数为ei,而a拥有该质数的个数为ci+di,b拥有…

gcd就是最大公约数,gcd(x, y)一般用(x, y)表示.与此相对的是lcm,最小公倍数,lcm(x, y)一般用[x, y]表示. 人人都知道:lcm(x, y) = x * y / gcd(x, y) 证明起来也不是很难: (这真的是我自己写的,因为博客园不支持这格式……) 至于gcd的求法,想必各位在高中都学过辗转相除法和更相减损之术,这里只讲辗转相除法(更相减损之术略慢) 首先不妨设 x ≤ y,则gcd(x, y)  =gcd(x, x +y) = gcd(x, y - x).所…

gcd 定理的证明: 模板: ll gcd(ll a,ll b) { ) return a; else return gcd(b,a%b); } 扩gcd证明: 模板: ll extgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) { ll d = a; ) { x = ; y = ; } else { d = extgcd(b,a%b,y,x); y -= (a/b)*x; } return d; } 解题规律: 首先化为 ax+by = c 的形式,一般采用增加常量的方式,然后把a…

Fibonacci 数列 设f(x)=1,x∈{1,2}=f(x−1)+f(x−2),x∈[3,∞)\begin{aligned}f(x)&=1,\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad x\in\{1,2\}\\ &=f(x-1)+f(x-2),\quad x\in[3,∞) \end{aligned}f(x)​=1,x∈{1,2}=f(x−1)+f(x−2),x∈[3,∞)​ 则 f(x)f(x)f(x) 的通项公式为f(x)=15[(…