考虑到\(lcm(i,j)=\frac{ij}{gcd(i,j)}\) \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\frac{ij}{gcd(i,j)}\) \(\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)==d]\frac{ij}{d}\) \(\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[gcd(i,j)==1]{ijd}\) \(=\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^…

[BZOJ 2154]Crash的数字表格(莫比乌斯反演+数论分块) 题面 求 \[\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \mathrm{lcm}(i,j)\] 分析 \[\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \mathrm{lcm}(i,j)\] \[=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \frac{i j}{\mathrm{gcd}(i, j)}\] \[=\sum_{g=1}^{n} \sum_{i=1}^{n/g} \s…

题面 传送门:洛咕 Solution 调到自闭,我好菜啊 为了方便讨论,以下式子\(m>=n\) 为了方便书写,以下式子中的除号均为向下取整 我们来颓柿子吧qwq 显然,题目让我们求: \(\large \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m lcm(i,j)\) \(lcm\)没法玩,我们转到\(gcd\)形式: \(\large \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m \frac{i*j}{gcd(i,j)}\) 根据套路,我们去枚举\(gcd\) \(\large \s…

题解-[国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB 前置知识: 莫比乌斯反演 </> [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB 单组测试数据,给定 \(n,m\) ,求 \[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\operatorname{lcm}(i,j)\bmod 20101009 \] 数据范围:\(1\le n,m\le 10^7\). 作为写出了最暴力的做法的蒟蒻,来推个式子. \(n\le m\),一气呵成: \[\begi…

P1829 [国家集训队]Crash的数字表格 原题传送门 前置芝士 莫比乌斯反演 乘法逆元 数论分块 正文 //补充:以下式子中的除法均为整除 由题目可以得知,这道题让我们所求的数,用一个式子来表达即为:\(\boxed{ANS=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m LCM(i,j)}\) 而根据莫比乌斯反演的内容,我们可以对右边的式子进行进一步的推导: \[\begin{align} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m LCM(i,j)&=\sum_{i=1}^…

[国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB 题意 求\(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^mlcm(i,j)\),\(n,m\le 10^7\) 鉴于我式子没推出来,所以再推一遍. \[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^mlcm(i,j)\] \[=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\frac{ij}{gcd(i,j)}\] \[=\sum\limits_{i=1}…

2154: Crash的数字表格 Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 259 MBSubmit: 2924  Solved: 1091[Submit][Status][Discuss] Description 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数.例如,LCM(6, 8) = 24.回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究…

题目描述 TTT组数据,给出NNN,MMM,求∑x=1N∑y=1Mlim(x,y)\sum_{x=1}^N\sum_{y=1}^M lim(x,y)\newlinex=1∑N​y=1∑M​lim(x,y) N,M<=10000000T<=10000N,M <= 10000000\newline T<= 10000N,M<=10000000T<=10000 题目分析 直接开始变换,假设N<M Ans=∑x=1N∑y=1Mxy(x,y)=∑T=1N1T∑x=1N∑y=…

传送门:洛谷,bzoj 题目描述 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时整除a和b的最小正整数.例如,LCM(6, 8) = 24. 回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究最小公倍数,他画了一张NM的表格.每个格子里写了一个数字,其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j).一个45的表格如下: 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4…

点此看题面 大致题意: 求\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mlcm(i,j)\). 推式子 不会莫比乌斯反演的可以先去看这篇博客:初学莫比乌斯反演. 反演题显然就是推式子啊~~~ 考虑\(lcm\)这个东西不好做,所以我们先把它化成\(gcd\): \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\frac{ij}{gcd(i,j)}\] 接下来就是按照套路枚举\(gcd\)了: \[\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{i=1}^{\lfloor\fra…