FFT(快速傅立叶变换)和NTT(快速数论变换)看上去很高端,真正搞懂了就很simple了辣. 首先给出多项式的一些定义(初中数学内容): 形如Σaixi的式子就是多项式! 多项式中每个单项式叫做多项式的项. 这些单项式中的最高次数,就是这个多项式的次数. 有几个不同的元也是多项式,但在下面将不被考虑. 注意:(n+1)个点可以唯一确定一个n次多项式(两点定线啊之类的). 然后就是一些比较高明的东西了. 首先在掌握FFT之前我们要掌握一下知识: 1.复数的计算法则. 形如(a+bi)的数叫复数,…

FFT/NTT/MTT Tags:数学 作业部落 评论地址 前言 这是网上的优秀博客 并不建议初学者看我的博客,因为我也不是很了解FFT的具体原理 一.概述 两个多项式相乘,不用\(N^2\),通过\(FFT\)可以把复杂度优化到\(O(NlogN)\),\(NTT\)能够取模,\(MTT\)可以对非\(NTT\)模数取模,相对来说\(FFT\)常数小些因为不要取模 二.我们来背板子(FFT) 先放一个板子(洛谷P3803 [模板]多项式乘法(FFT)) #include<iostream>…

FFT 快速傅里叶变换 前言 lmc,ikka,attack等众多大佬都没教会的我终于要自己填坑了. 又是机房里最后一个学fft的人 早背过圆周率50位填坑了 用处 多项式乘法 卷积 \(g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2\) \(f(x)=b_0+b_1x+b_2x^2\) 他们的乘积c(x)就是 \(c(x)=a_0b_0+a_0b_1x+a_0b_2x^2+a_1b_0x+a_1b_1x^2+a_1b_2x^3+a_2b_0x^2+a_2b_1x^3+a_2b_2x^4\) c(x)…

1.多项式的两种表示法 1.系数表示法 我们最常用的多项式表示法就是系数表示法,一个次数界为\(n\)的多项式\(S(x)\)可以用一个向量\(s=(s_0,s_1,s_2,\cdots,s_n-1)\)系数表示如下:\[S(x)=\sum_{k=0}^{n-1}s_kx^k\] 系数表示法很适合做加法,可以在\(O(n)\)的时间复杂度内完成,表达式为:\[S(x)=A(x)+B(x)=\sum_{k=0}^{n-1}(a_k+b_k)x^k\] 当中\[s_k=a_k+b_k\] 但是,系数…

打了FFT 感觉以后多项式不虚了 ~滑稽~ PS 关于详见没写完.... code #include<cmath> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> // pi = 3.14; inline int read() { int x = 0,f = 1 ; char c = getchar(); while(c < '0' || c > '9') { if(c == '-')…

目录 「学习笔记」FFT 之优化--NTT 前言 引入 快速数论变换--NTT 一些引申问题及解决方法 三模数 NTT 拆系数 FFT (MTT) 「学习笔记」FFT 之优化--NTT 前言 \(NTT\) 在某种意义上说,应该属于 \(FFT\) 的一种优化. --因而必备知识肯定要有 \(FFT\) 啦... 如果不知道 \(FFT\) 的大佬可以走这里 引入 在 \(FFT\) 中,为了能计算单位原根 \(\omega\) ,我们使用了 \(\text{C++}\) 的 math 库中的…

定义 多项式 系数表示法 设\(A(x)\)表示一个\(n-1\)次多项式,则所有项的系数组成的\(n\)维向量\((a_0,a_1,a_2,\dots,a_{n-1})\)唯一确定了这个多项式. 即 \[A(x)=\sum \limits_{i=0}^{n-1}a_ix^i\] \[=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_{n-1}x^{n-1}\] 点值表示法 将\(n\)个互不相同的\(x\)代入多项式,会得到\(n\)个互不相同的取值\(y\).设他们组成的\(n\)维向量分别…

目录 「学习笔记」FFT 快速傅里叶变换 啥是 FFT 呀?它可以干什么? 必备芝士 点值表示 复数 傅立叶正变换 傅里叶逆变换 FFT 的代码实现 还会有的 NTT 和三模数 NTT... 「学习笔记」FFT 快速傅里叶变换 几个星期之后,继 扩展欧拉定理 之后, \(lj\) 大佬又给我们来了一发数论... 虽然听得心态爆炸, 但是还好的是没有 \(ymx\) 大佬的飞机开得好... 至少我还没有坐飞机... 啥是 FFT 呀?它可以干什么? 首先,你需要知道 矩阵乘法 的相关知识. 通过…

第三波,走起~~ FFT/NTT复习笔记&多项式&生成函数学习笔记Ⅰ FFT/NTT复习笔记&多项式&生成函数学习笔记Ⅱ 单位根反演 今天打多校时 1002 被卡科技了--赛场上看出来是个单位根反演但不会,所以只好现学这东西了( 首先你得知道单位根是什么东西,对于 \(n\) 次方程 \(x^n-1=0(x\in\mathbb{C})\),在复数域上有 \(n\) 个根,其对应到复平面上就是单位圆的 \(n\) 等分点,我们将这些单位根从 \(x\) 轴正半轴开始顺时针依次…

众所周知,tzc 在 2019 年(12 月 31 日)就第一次开始接触多项式相关算法,可到 2021 年(1 月 1 日)才开始写这篇 blog. 感觉自己开了个大坑( 多项式 多项式乘法 好吧这个应该是多项式各种运算中的基础了. 首先,在学习多项式乘法之前,你需要学会: 复数 我们定义虚数单位 \(i\) 为满足 \(x^2=-1\) 的 \(x\). 那么所有的复数都可以表示为 \(z=a+bi\) 的形式,其中 \(a,b\) 均为实数. 复数的加减直接对实部虚部相加减就行了. 复数的乘…