[BZOJ3202]项链(莫比乌斯反演,Burnside引理) 题面 BZOJ 洛谷 题解 首先读完题目,很明显的感觉就是,分成了两个部分计算. 首先计算本质不同的珠子个数,再计算本质不同的项链个数. 前面一个部分和\(gcd\)相关,一种莫比乌斯反演的感觉. 后面一个部分出现了旋转操作,要求本质不同的方案数,不难想到Burnside引理. 首先先考虑怎么求本质不同的珠子个数. 我们直接考虑无序的三元组\((x,y,z)\),满足\(x,y,z\le a,gcd(x,y,z)=1\) 容斥考虑最…

正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3307 题目大意 \(n\)个珠子的一个环形项链,每个珠子有三个\(1\sim k\)的整数. 两个珠子不同当且仅当它们不能通过翻转或者旋转得到 两个项链不同当且仅当它们不能通过旋转得到 珠子要求上面的数字互质 项链要求相邻珠子不同 求方案数. 解题思路 珠子的计数和项链计数是没什么关系的,所以两个分开求. 先考虑求珠子有多少种.相当与求有多少种三元组,因为三个数字的排列通过以上操作可以得到任何其他排列. 首先…

传送门 思路 很明显的一个思路:先搞出有多少种珠子,再求有多少种项链. 珠子 考虑这个式子: \[ S3=\sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^a\sum_{k=1}^a [\gcd(i,j,k)==1] \] 显然可以莫比乌斯反演一波,但这个是对的吗? 当有两个数字相同时只被算了3遍,而三个都相同的只被算了一遍. \[ S2=\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^a [\gcd(i,j)==1] \] 显然有\(S1=1\),那么就会得到最终答案: \[ ans=\frac…

题面传送门 看到题目我们显然可以将题目拆分成两部分:首先求出有多少个符合要求的珠子 \(c\),这样我们就可以将每种珠子看成一种颜色,题目也就等价于有多少种用 \(c\) 种颜色染长度为 \(n\) 的环的方法,满足相邻格子颜色不同,可以通过旋转重合的染色方案算同一种,这就是题目的第二部分.显然两部分是独立的,因此可以分开来计算. 首先考虑怎样求出 \(c\) 的值,注意到这里涉及 \(\gcd\),故可以套路地想到莫比乌斯反演,记 \(f(i)\) 为珠子上三个数 \(\gcd\) 恰好为 \…

Color Description Beads of N colors are connected together into a circular necklace of N beads (N<=1000000000). Your job is to calculate how many different kinds of the necklace can be produced. You should know that the necklace might not use up all…

//待更qwq 反演原理 二项式反演 若 \[g_i=\sum_{j=1}^i {\binom ij} f_j\] , 则有 \[ f_i=\sum_{j=1}^i (-1)^{i-j} {i \choose j} g_j \] 同时, 若 \[g_i=\sum_{j=1}^i (-1)^j {i \choose j} f_j\] , 则有 \[f_i=\sum_{j=1}^i (-1)^j {i \choose j} g_j\] 通过反演原理和组合数的性质不难证明. 0/1? todo Sti…

原文链接www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Burnside-Polya.html 问题模型 有一个长度为 $n$ 的序列,序列中的每一个元素有 $m$ 种取值. 如果两个序列循环同构,那么我们称这两个序列等价. 求两两不等价的序列个数. Burnside引理 假设有若干个置换 $P_1,P_2,\cdots$ ,设由这些置换生成的置换群为 $Q$ .如果序列 A 可以通过一个 $Q$ 中的置换变成序列 B,那么我们认为 A 和 B 等价. 对于一个置换 $P$ ,如果…

[POJ2888]Magic Bracelet 题意:一个长度为n的项链,有m种颜色的珠子,有k个限制(a,b)表示颜色为a的珠子和颜色为b的珠子不能相邻,求用m种珠子能串成的项链有多少种.如果一个项链在旋转后与另一个项链相同,则认为这两串珠子是相同的. $n\le 10^9,m\le 10,k\le \frac{m(m-1)} 2 $ 题解:好题. 依旧回顾从Burnside引理到Pólya定理的推导过程.一个置换中的不动点要满足它的所有循环中的点颜色都相同,那么在旋转i次的置换中,循环有gc…

题目来源:UVa 10294 Arif in Dhaka (First Love Part 2) 题意:n颗珠子t种颜色 求有多少种项链和手镯 项链不可以翻转 手镯可以翻转 [分析] 要开始学置换了. 置换是什么呢?  置换的广义概念在不同语境下有不同的形式定义: 在集合论中,一个集合的置换是从该集合映至自身的双射:在有限集的情况,便与上述定义一致. 在组合数学中,置换一词的传统意义是一个有序序列,其中元素不重复,但可能有阙漏.例如1,2,4,3可以称为1,2,3,4,5,6的一个置换,但是其中…

也许更好的阅读体验 \(Burnside引理\) 公式 \(\begin{aligned}L=\frac{1}{|G|}\sum_{i=1}^{|G|}D_{G_i}\end{aligned}\) 一些定义 \(E_i\) 表示与\(i\)同类的方案 \(Z_i\) 表示使\(i\)不变的置换 \(G\) 表示所有的置换方法 \(D_i\) 表示第\(i\)种置换能使多少方案不变 \(n\) 表示方案总数 \(L\) 表示本质不同的方案数 引理的引理 \(|E_i|*|Z_i|=|G|\) \(…