「快速傅里叶变换(FFT)」学习笔记

FFT即快速傅里叶变换,离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法.在OI中用来优化多项式乘法. 本文主要目的是便于自己整理.复习 FFT的算法思路已知两个多项式的系数表达式,要求其卷积的系数表达式. 先将两个多项式分别转化为点值表达式,完成点值表达式的乘法,然后转为系数表达式得到结果. 点值表达式的乘法.整体考虑:假设已知两个多项式$A(x)$和$B(x)$.如果已知当$x=x_0$时$A(x_0)$和$B(x_0)$,则其乘积一定有点值$A(x_0)*B(x_0)$.因此点值表达式的乘法复杂度$O…

Note -「圆方树」学习笔记

目录圆方树的定义圆方树的构造实现细节圆方树的运用「BZOJ 3331」压力「洛谷 P4320」道路相遇「APIO 2018」「洛谷 P4630」铁人两项「CF 487E」Tourists 「SDOI 2018」「洛谷 P4606」战略游戏「BZOJ 4316」小C的独立集「洛谷 P5236」「模板」静态仙人掌「HNOI 2009」「洛谷 P4410」无归岛圆方树的定义圆方树是由一个无向图转化出的树形结构.转化方法为: 所有原图的点为"圆点". 对于每个点…

Note -「Dsu On Tree」学习笔记

前置芝士树连剖分及其思想,以及优化时间复杂度的原理. 讲个笑话这个东西其实和 Dsu(并查集)没什么关系. 算法本身 Dsu On Tree,一下简称 DOT,常用于解决子树间的信息合并问题. 其实本质上可以理解为高维树上 DP 的空间优化,也可以理解为暴力优化. 在这里我们再次明确一些定义: 重儿子 & 轻儿子:一个节点的儿子中子树最大的儿子称为该节点的重儿子,其余的儿子即为轻儿子.特殊的,如果子树最大的有多个,我们任取一个作为重儿子. 重边 & 轻边:连接一个节点与它的重儿子的边称为…

Note -「矩阵树定理」学习笔记

大概--会很简洁吧 qwq. 矩阵树定理对于无自环无向图 $G=(V,E)$,令其度数矩阵 $D$,邻接矩阵 $A$,令该图的 $\text{Kirchhoff}$ 矩阵 $K=D-A$.取其任意一个 $n-1$ 阶主子式 $K'$,则 $G$ 的生成树个数 $s=\det K'$. 证明先咕掉 qwq. 一些推广对于有向图以 $r$ 为根的内向生成树,取 $D$ 为初度矩阵,取主子式时删去 $r$ 行 $r$ 列,再求行列…

[学习笔记] 多项式与快速傅里叶变换(FFT)基础

引入可能有不少OIer都知道FFT这个神奇的算法, 通过一系列玄学的变化就可以在 $O(nlog(n))$ 的总时间复杂度内计算出两个向量的卷积, 而代码量却非常小. 博主一年半前曾经因COGS的一道叫做"神秘的常数 $\pi$"的题目而去学习过FFT, 但是基本就是照着板子打打完并不知道自己在写些什么鬼畜的东西OwO 不过...博主这几天突然照着算法导论自己看了一遍发现自己似乎突然意识到了什么OwO然后就打了一道板子题还1A了OwO再加上午考试差点AK以及日更频率即将不保于是就有了…

【学习笔记】快速傅里叶变换(FFT)

[学习笔记]快速傅里叶变换学习之前先看懂这个浅谈范德蒙德(Vandermonde)方阵的逆矩阵的求法以及快速傅里叶变换(FFT)中IDFT的原理--gzy hhh开个玩笑. 讲一下$FFT$ 的流程,我也不准备长篇大论地分析$FFT...$ 将系数表示法转换为点值表示法 $O(n \log n)$ 对于点值表示法直接进行操作 $O(n)$ 将点值表示法转换为系数表示法 $O(n \log n)$ 这样的流程,最终复杂度是$O(n \log n)$ 的,现在我们从最…

快速傅里叶变换(FFT)学习笔记

定义多项式系数表示法设$A(x)$表示一个$n-1$次多项式,则所有项的系数组成的$n$维向量$(a_0,a_1,a_2,\dots,a_{n-1})$唯一确定了这个多项式. 即 \[A(x)=\sum \limits_{i=0}^{n-1}a_ix^i\] \[=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_{n-1}x^{n-1}\] 点值表示法将$n$个互不相同的$x$代入多项式,会得到$n$个互不相同的取值$y$.设他们组成的$n$维向量分别…

再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其三)(循环卷积的Bluestein算法+分治FFT+FFT的优化+任意模数NTT)

再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其三)(循环卷积的Bluestein算法+分治FFT+FFT的优化+任意模数NTT) 目录再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其三)(循环卷积的Bluestein算法+分治FFT+FFT的优化+任意模数NTT) 写在前面一些约定循环卷积 DFT卷积的本质 Bluestein's Algorithm 例题分治FFT 例题 FFT的弱常数优化复杂算式中减少FFT次数例题利用循环卷积小范围暴力例题快速幂乘法次数的优化 FFT的强常数优化 DF…

快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其一)

再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其一) 目录再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其一) 写在前面为什么写这篇博客一些约定前置知识多项式卷积多项式的系数表达式和点值表达式单位根及其性质 DFT和IDFT DFT的过程 IDFT的过程 FFT FFT的数学证明及时间复杂度分析 FFT的递归实现 FFT的非递归实现 FFT的局限性例题写在前面为什么写这篇博客笔者去年暑假刚刚学习过FFT,NTT的一些基础应用.但当时对FFT和NTT的理解还不够深入.本博客参考2016年国家…

快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其二)(NTT)

再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其二)(NTT) 目录再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其二)(NTT) 写在前面一些约定前置知识同余类和剩余系欧拉定理阶原根求原根 NTT NTT的定义从单位根到原根常用NTT模数表 NTT的实现写在前面为了不使篇幅过长,预计将把学习笔记分为四部分: DFT,IDFT,FFT的定义,实现与证明:快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其一) NTT的实现与证明:快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其二) 任意模数NTT与FFT的优化技巧…

【Java】「深入理解Java虚拟机」学习笔记（1） - Java语言发展趋势

0.前言从这篇随笔开始记录Java虚拟机的内容,以前只是对Java的应用,聚焦的是业务,了解的只是语言层面,现在想深入学习一下. 对JVM的学习肯定不是看一遍书就能掌握的,在今后的学习和实践中如果有领会到的心得和踩过的坑,将会对这些文章进行更新. 另外,人脑更喜欢图胜过文字,有些流程先用文字码在那儿,后面有时间再画图. 1.「深入理解Java虚拟机」学习笔记(1) - Java语言发展趋势 2.「深入理解Java虚拟机」学习笔记(2)- JVM内存区域 3.[Java]「深入理解Java虚拟机…

「ExLucas」学习笔记

「ExLucas」学习笔记前置芝士中国剩余定理 $CRT$ $Lucas$ 定理 $ExGCD$ 亿点点数学知识给龙蝶打波广告 Lucas 定理 $C^m_n = C^{m\% mod}_{n\% mod} \times C^{\frac{m}{mod}}_{\frac{n}{mod}}$ 适用条件给出的数据范围较大(无法用线性求出) 模数很烂的时候(会使阶乘中出现 $0$) $mod$ 必须为质数证明证明很恶心,略. 模板某谷P4720 #include…

多项式之快速傅里叶变换(FFT)/数论变换(NTT)/常用套路【入门】

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Fast-Fourier-Transform.html 多项式之快速傅里叶变换(FFT)/数论变换(NTT)/例题与常用套路[入门] 前置技能对复数以及复平面有一定的了解对数论要求了解:逆元,原根,中国剩余定理对分治有充足的认识对多项式有一定的认识,并会写 $O(n^2)$ 的高精度乘法本文概要多项式定义及基本卷积形式 $Karatsuba$ 乘法多项式的系数表示与点值表示,以及拉格朗日插值法…

快速傅里叶变换(FFT)

扯去北京学习的时候才系统的学习了一下卷积,当时整理了这个笔记的大部分.后来就一直放着忘了写完.直到今天都腊月二十八了,才想起来还有个FFT的笔记没整完呢.整理完这个我就假装今年的任务全都over了吧. 更改了一些以前不大正确的地方,又添加了一些推导,证明实在不会. 有一些公式,但个人觉得还是比较好理解.可能还会有错误,希望大佬友情指出. 最后,祝各位看官新年快乐. 回家过寒假去咯(虽然就$4$天$qwq$) 多项式一个次数界为$n$的多项式\(A(x) = \sum_{i = 0…

图像傅里叶变换（快速傅里叶变换FFT）

学习DIP第7天,图像傅里叶变换转载请标明出处:http://blog.csdn.net/tonyshengtan,欢迎大家转载,发现博客被某些论坛转载后,图像无法正常显示,无法正常表达本人观点,对此表示很不满意........ 内容迁移至 http://www.face2ai.com/DIP-2-5-图像傅里叶变换-快速傅里叶变换FFT/ http://www.tony4ai.com/DIP-2-5-图像傅里叶变换-快速傅里叶变换FFT/…

快速傅里叶变换FFT

多项式乘法 #include <cstdio> #include <cmath> #include <algorithm> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <ctime> #include <deque> #include <queue> #include <vector> #include <map> #include &l…

快速傅里叶变换FFT& 数论变换NTT

相关知识时间域上的函数f(t)经过傅里叶变换(Fourier Transform)变成频率域上的F(w),也就是用一些不同频率正弦曲线的加权叠加得到时间域上的信号. \[ F(\omega)=\mathcal{F}[f(t)]=\int\limits_{-\infty}^\infty f(t)e^{-iwt}dt \] 傅里叶逆变换是将频率域上的F(w)变成时间域上的函数f(t),一般称$f(t)$为原函数,称$F(w)$为象函数.原函数和象函数构成一个傅里叶变换对. \[ f(t)…

快速傅里叶变换(FFT)_转载

FFTFFT·Fast Fourier TransformationFast Fourier Transformation快速傅立叶变换 P3803 [模板]多项式乘法(FFT) 参考上文首先介绍, 欧拉公式: 公式描述:公式中e是自然对数的底,i是虚数单位. 快速傅里叶变换(FFT)详解前言: DFT:离散傅里叶变换—>O(n2)计算多项式乘法 FFT:快速傅里叶变换—>O(n∗log(n)O(n∗log⁡(n)计算多项式乘法 FNTT/NTT:快速傅里叶变换的优化版—>优…

基于python的快速傅里叶变换FFT（二）

基于python的快速傅里叶变换FFT(二)本文在上一篇博客的基础上进一步探究正弦函数及其FFT变换. 知识点 FFT变换,其实就是快速离散傅里叶变换,傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法.要知道傅立叶变换算法的意义,首先要了解傅立叶原理的意义.傅立叶原理表明:任何连续测量的时序或信号,都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加.而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号,以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率.振幅和相位. 和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换…

浅谈范德蒙德(Vandermonde)方阵的逆矩阵的求法以及快速傅里叶变换(FFT)中IDFT的原理

浅谈范德蒙德(Vandermonde)方阵的逆矩阵与拉格朗日(Lagrange)插值的关系以及快速傅里叶变换(FFT)中IDFT的原理标签: 行列式矩阵线性代数 FFT 拉格朗日插值只要稍微看过一点线性代数的应该都知道范德蒙德行列式. \[V(x_0,x_1,\cdots ,x_{n-1})=\begin{bmatrix} {1}&{1}&{\cdots}&{1}\\ {x_{0}}&{x_{1}}&{\cdots}&{x_{n-1}}\\ {x_{…

快速傅里叶变换FFT / NTT

目录 FFT 系数表示法点值表示法复数 DFT(离散傅里叶变换) 单位根的性质 FFT(快速傅里叶变换) IFFT(快速傅里叶逆变换) NTT 阶原根扩展知识 FFT 参考blog: 十分简明易懂的FFT(快速傅里叶变换) 快速傅里叶变换(FFT)详解 (下面的图片是来自于这2篇博客里面的,仔细看可以发现右下角有水印--) 系数表示法一个一元$n$次多项式$f(x)$可以被表示为:\[f(x) = \sum_{i = 0}^{n}a_{i}x^{i}\] 即用$i$次项的系…

Algorithm: 多项式乘法 Polynomial Multiplication: 快速傅里叶变换 FFT / 快速数论变换 NTT

Intro: 本篇博客将会从朴素乘法讲起,经过分治乘法,到达FFT和NTT 旨在能够让读者(也让自己)充分理解其思想模板题入口:洛谷 P3803 [模板]多项式乘法(FFT) 朴素乘法约定:两个多项式为$A(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i,B(x)=\sum_{i=0}^{m}b_ix^i$ Prerequisite knowledge: 初中数学知识(手动滑稽) 最简单的多项式方法就是逐项相乘再合并同类项,写成公式: 若$C(x)=A(x)B(x)$,那么\(C(x…

快速傅里叶变换（FFT）学习笔记（未完待续）

目录参考资料 FFT 吹水例题普通做法更高大尚的做法定义与一部分性质系数表达式点值表达式点值相乘??? 卷积复数单位根 DFT IDFT 蝴蝶迭代优化单位根求法实现.细节与小优化细节小优化实现超~毒瘤优化. 实战! First Second 温馨插入:生成函数 Third 总所周知,FFT是一个非常麻烦的算法,再加上博主语文不好,便写起来有点麻烦,但会尽力去写.要以后自己看不懂就... 注:因为最近的压力紧张,便没有继续学习FFT,这仅为目前的半成品以及一些目前已…

【笔记篇】(理论向)快速傅里叶变换(FFT)学习笔记w

现在真是一碰电脑就很颓废啊... 于是早晨把电脑锁上然后在旁边啃了一节课多的算导, 把FFT的基本原理整明白了.. 但是我并不觉得自己能讲明白... Fast Fourier Transformation, 快速傅里叶变换, 是DFT(Discrete Fourier Transform, 离散傅里叶变换)的快速实现版本. 据说在信号处理领域广泛的应用, 而且在OI中也有广泛的应用(比如SDOI2017 R2至少考了两道), 所以有必要学习一波.. 划重点: 其实学习FFT最好的教材是<算法导论…

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