Problem Statement Takahashi and Aoki are going to together construct a sequence of integers. First, Takahashi will provide a sequence of integers a, satisfying all of the following conditions: The length of a is N. Each element in a is an integer bet…

题意 给你一个正整数 \(n\),求有多少字符集为 \(1\) 到 \(k\) 之间整数的字符串,使得该字符串可以由一个长度为 \(n\) 的回文串循环移位得到. ARC原题 \(100\%\) 的数据是 \(n,k\le 10^9\) SDOI改编后,\(30\%\) 的数据是 \(n,k\le 10^{10}\),\(60\%\) 的数据是 \(n,k\le 10^{14}\),\(100\%\) 的数据是 \(n,k\le 10^{18}\)-- 题解 \(n,k\le 10^{10}\)…

题意 问有多少个长度为 \(N\) 且字符集大小为 \(K\) 的字符串可以通过回文串旋转 (把第一个字符移到最后)若干次得到.\(N,K\le 10^9\) 做法 设\(f_i\)为最小周期为\(i\)的回文串个数 有\(f_i=K^{\left\lceil\frac{i}{2}\right\rceil}-\sum\limits_{j|i,j\neq i}f_{j}\) 若\(i%N\neq 0\),可以通过是回文串的性质,将其调整为更小的\(i\)或更大的\(i\),所以这里我们只考虑\(i…

[算法]数论,二分图最大匹配 [题意]有无限张牌,给定n张面朝上的牌的坐标(N<=100),其它牌面朝下,每次操作可以选定一个>=3的素数p,并翻转连续p张牌,求最少操作次数使所有牌向下. [题解] 1.定义bi,当ai和ai-1的朝向相同时,bi=0,否则bi=1.特别的,a0朝向下. 则问题转化为:给定01序列b[],每次选L(正数)和P(奇素数),翻转bL和bP,求最少操作次数使序列全0. 这么转化的关键在于差分,对于区间翻转,区间内的点bi都不会变化,只有区间左端和区间右端+1变化,将…

LINK:Painting Graphs with AtCoDeer 看英文题面果然有点吃不消 一些细节会被忽略掉. 问每条边都要被染色 且一个环上边的颜色可以旋转. 用c种颜色有多少本质不同的方法. 注意这里的环指简单环 即不能经过一个节点两次. 考虑环套环的情况 手玩可以发现 可以将这种情况出现的所有边按顺序放置. 那么只和颜色出现的次数有关 隔板法做即可. 一个环 容易发现可以使用\(burnside\)引理. 割边 也很容易. 难点是求简单环. 不能求割边 因为边双不一定是简单环. 但是…

LINK:Dark Horse 首先考虑1所在位置. 假设1所在位置在1号点 对于此时剩下的其他点的方案来说. 把1移到另外一个点 对于刚才的所有方案来说 相对位置不变是另外的方案. 可以得到 1在任何位置剩下的方案数都相同 所以不妨设1所在点为1 求出方案乘以n. 考虑怎么求方案 即求出剩下的n-1个区间 且每个区间的最小值都不能是给出的m的值. 直接做需要状压 做不了. 考虑容斥 容易想到答案为\(\sum_{s}(-1)^{|s|}f_s\) 其中\(f_s\)表示集合s一定不合法的方案数…

(长度为$n$的序列$a_{i}$,下标范围为$[0,n)$,且用字符串的方式即$a_{[l,r]}$来表示子区间) 定义一个长为$n$的序列$a_{i}$的周期为的$l$满足$l|n$且$\forall l\le i<n,a_{i}=a_{i+l}$(这里不同于普通周期的定义,普通周期定义是没有$l|n$这个要求的),最小正周期即为其中最小的正整数$l$ 先考虑枚举一开始回文的$a_{i}$,再将其轮换来构造出所有$a_{i}$,可以证明具有这样两个性质: 1.若一个序列$a_{i}$是回文的…

题面 题目大意: 给你\(m\)张椅子,排成一行,告诉你\(n\)个人,每个人可以坐的座位为\([1,l]\bigcup[r,m]\),为了让所有人坐下,问至少还要加多少张椅子. Solution: 为什么加椅子?我们可以在最左边或最右边一直加直到人人都有座位. 首先这道题目抽象成二分图很简单,然后我们可以只要求解出人与座位的最大匹配是多少,总人数减去即可,但跑二分图最大匹配显然会超时,我们就可以往霍尔定理方面想. 然后你还需要知道一个霍尔定理推论:假设某个人的集合为\(X\),这个集合所对应的…

Description 然而,由于小C沉迷于制作游戏,他完全忘记了自己作为国家集训队的一员,还有156道作业题等他完成.还有一天作业就要截止了,而他一题还没有做.于是他赶紧挑了一道看起来最简单的题: "给定一个整数N,请你求出有多少字符集为1到K之间整数的字符串,使得该字符串可以由一个长度为N的回文串循环移位后得到.所谓循环移位,就是把字符串的某个前缀(可以为空)移到字符串末尾,如"1221"循环移位可以得到"1221"."2211".…

题意 给定一个整数N,请你求出有多少字符集为1到K之间整数的字符串,使得该字符串可以由一个长度为N的回文串循环移位后得到.所谓循环移位,就是把字符串的某个前缀(可以为空)移到字符串末尾,如"1221"循环移位可以得到"1221"."2211"."2112"."1122"四个字符串.结果对$10^9+7$取模 题解 考试时花了差不多一个小时推了一个$O(n)$的式子,还妄想着能优化到$O(sqrt(n))$.…