函数凹凸性检验: 很容易看到,观察类似抛物线这类曲线,能够看到它们有一个向上凹或者向下凹的这样一个过程,而我们将这个过程细化并观察一系列点的导数的变化情况我们给出如下的定义: (1)如果函数图像在区间I上向上凹,则f’(x)在区间I上递增. (2)如果函数图像在区间I上向下凹,则f’(x)在区间I上递减. 局部极值二阶导数检验法: 证明:回想起我们最原始判断极值的方法,我们要考察极值点两侧导数的正负,对于(1),在c两侧取x=x0,x1应有f’(x0)<0,f’(x0)=0,f’(x1)>0,…

偏导数本质上就是一元微分学向多元函数的推广. 关于定义域的开域.闭域的推广: 其实这个定义本质上讲的就是xoy面上阴影区域的最外面的一周,只不过这里用了更加规范的数学语言. 二次函数的图形.层曲线(等值曲线): 一元函数的定义域在x轴上,函数图像在xoy面上:二元函数的定义域在xoy面上,函数图像在空间当中,而三元函数的定义域对应着空间的集合体.这里面对二元.三元函数我们有一个最基本的问题,就是勾勒出它们的大致图像,虽然目前有数学软件可以较为快速准确的描绘出函数的图像,但是掌握一定的确定函数图像…

所谓微分法其实就是我们所熟悉的导数,它是一种无限分割的方法,同积分法一样,它们是处理曲线和曲面的有利工具,也是一门很伟大的自然语言.微分方程就是一种名副其实的描述自然的语言. 同样这里如果取单侧导数,那么能够证明该点单侧具有连续型.通过原命题与逆否命题的等价性我们也能够看到,函数在某处不连续,在该处必然不可导.…

定积分中值定理: 积分自身的定义是简单的,但是在教学过程中人们往往记得的只是它的计算方法,在引入积分的概念的时候,往往就将其与计算方法紧密的捆绑在一起,实际上,在积分简单的定义之下,微积分基本定理告诉了我们积分的计算方法. 微积分基本定理: 能够看到,正是基于这样一个基本定理,我们才能够找到积分的计算方法,从这个角度就可以充分的理解为什么求积分的过程实际上是一个求“反导数”(求导的逆运算)的过程了.…

这一章节讨论积分的定义以及微积分基本定理. 笔者先前在数学证明专栏中关于高斯定理的证明的开头,给出了一段关于微积分思想的概括,文中提到根据导数(微分)的定义,根据其逆定义来给出积分的定义和计算方法,这里其实是及其不严谨的,积分本身有着自己的定义,而其计算方法正是微积分基本定理所呈现出来的东西. 积分的定义: 积分的现代定义的本质就是黎曼和,笔者之前关于多重积分定义的引入其实就已经提到过,这里是对一维的积分进行定义,相对二重.三重积分则会简单很多. 理论总是源于实际问题嘛,在解决曲线和坐标系围成的…

罗尔定理:如果函数f(x)在[a,b]上连续并且在(a,b)处处可微,并且有f(a) = f(b),则我们必然何以找到一个c∈(a,b),使得f’(c) = 0. 证明:我们从函数f(x)的最大值和最小值出发,它们只能在如下的几种情况取得. (1)    端点a.b处.. (2)    f’(x) = 0处,x∈(a,b). (3)    导数不存在处. 考虑到罗尔定理对函数的限制,我们可以直接排除(3),一旦最大值或者最小值的情况是(2),那么就找到了定理中所描述的c.那么现在还存在一种情况,…

求解条件极值的方法:拉格朗日乘数法 基于对多元函数极值方法的了解,再具体的问题中我们发现这样一个问题,在求解f(x,y,z)的极值的时候,我们需要极值点落在g(x,y,z)上这种对极值点有约束条件,通过直接代换消元的方法似乎会出现一些问题. 比如这个例题. 它面临的问题是,代换消元然后通过求偏导得来的驻点,我们无法控制其满足约束条件g(x,y,z),因此我们需要寻找新的方法来解决这种条件极值问题. 首先这里给出方向导数和梯度中给出的等式关系,这个具体的由来我们会在该小结中详细介绍. 对于可微函数…

这一章节我们开始对多重积分的研究. 在此之前,我们首先来回忆起积分的过程,在平面中,面临求解不规则图形的面积(常叫曲边梯形)的时候,我们可以采取建立直角坐标系,然后通过得到不规则图形边界的函数表达式f(x),对f(x)求解一次定积分即可.其方法就是先微分(将自变量区间划分为n个区间段),引入极限的概念(即使得n趋向无穷)之后使得我们能够“化曲为直”,然后利用矩形的面积公式进行求解.随后是积分过程,将这n个小矩形相加求极限,可得曲边梯形的面积. 如下几图使得这个过程更加的直观. Sp又叫做,f(x…

定积分一个广泛的应用就是在求解一些“看似不规则”的几何体的体积,之所以说看似不规则,是因为不规则之下还是有一定的“规则性”可言的,我们就是需要抓住这些线索进行积分运算得到体积. 方法1:切片法. 这里由于处理的方法思想和典型的离散的黎曼和到连续的积分的过程类似,因此这里不再重复推导,直接给出如何应用以及实例. 基于这条定理,我们能够直接介绍一下卡瓦列里原理.卡瓦列里原理表明,高度相同并且在每个高度上的横截面积相同的几何体的体积相同,直观的理解,就像下面这两堆“叠硬币”图. 下面我们看一些实例.…

点积.向量夹角: 无论对于空间向量还是平面向量,我们所熟知的是:给出任意两个向量,我们都能够根据公式计算它们的夹角,但是这个夹角必须是将两个向量的起点重合后所夹成的小于等于π的角,可是,这是为什么呢? 它其实来源于如下的定理(这里的定理和证明过程以三维向量为例,对于二维向量,可做完全一致的推导): 证明: 考虑在如下的一个三角形中. 通过这个定理的证明过程就能够理解:为什么我们求向量夹角用点积:两个向量之间的点积为什么等于两个向量模长再乘以夹角的余弦值:为什么我们求出来的角是起点重合的两个向量夹…