LINK:P5667 拉格朗日插值2 给出了n个连续的取值的自变量的点值 求 f(m+1),f(m+2),...f(m+n). 如果我们直接把f这个函数给插值出来就变成了了多项式多点求值 这个难度好像有点大. 不妨 直接考虑拉格朗日插值. 设此时要求f(k) 那么则有 \(\sum_{i=0}^nf(i)\frac{\Pi_{i\neq j}(k-j)}{\Pi_{i\neq j} (i-j)}\) 可以化简一下 \(f(k)=\sum_{i=0}^nf(i)\frac{ \Pi_{i\neq…

题面 传送门 前置芝士 \(MTT\),多项式多点求值 题解 这题法老当初好像讲过--而且他还说这种题目如果模数已经给定可以直接分段打表艹过去 以下是题解 我们设 \[F(x)=\prod_{i=0}^{s-1}(x+i)\] 分治\(FFT\)即可求出 然后我们用多点求值求出\(x=1,s+1,2s+1,...,s^2-s+1\)时的答案 这样的话可以计算出\((s^2)!\),剩下没计算的部分直接暴力就是了 如果我们取\(s=\sqrt{n}\),复杂度大概就是\(O(s\log^2s)\)…

传送门 人傻常数大.jpg 因为求逆的时候没清零结果调了几个小时-- 前置芝士 多项式除法,多项式求逆 什么?你不会?左转你谷模板区,包教包会 题解 首先我们要知道一个结论\[f(x_0)\equiv f(x)\pmod{(x-x_0)}\] 其中\(x_0\)为一个常量,\(f(x_0)\)也为一个常量 证明如下,设\(f(x)=g(x)(x-x_0)+A\),也就是说\(A\)是\(f(x)\)对\((x-x_0)\)这个多项式取模之后的结果 因为\((x-x_0)\)的最高次项为\(1\)…

code: #include <bits/stdc++.h> #define ll long long #define ull unsigned long long #define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) // , freopen(s".out","w",stdout) using namespace std; char buf[100000],*p1,*p2; #de…

预备知识:FFT/NTT 多项式的逆 给定一个多项式 F(x)F(x)F(x),请求出一个多项式 G(x)G(x)G(x),满足 F(x)∗G(x)≡1(mod xn)F(x)*G(x) \equiv 1(mod\ x^n)F(x)∗G(x)≡1(mod xn). 系数对 998244353998244353998244353 取模,1≤n≤1051≤n≤10^51≤n≤105 首先将多项式的长度拓展至222的次幂,然后我们要求的是 G(x)∗F(x)≡1 (mod xn)G(x)*F(x) \…

多项式 代码 const int nsz=(int)4e5+50; const ll nmod=998244353,g=3,ginv=332748118ll; //basic math ll qp(ll a,ll b){ ll res=1; for(;b;a=a*a%nmod,b>>=1)if(b&1)res=res*a%nmod; return res; } ll inv(ll n){ return qp(n,nmod-2); } //polynomial operations //…

全域多项式插值指的是在整个插值区域内形成一个多项式函数作为插值函数.关于多项式插值的基本知识,见“计算基本理论”. 在单项式基插值和牛顿插值形成的表达式中,求该表达式在某一点处的值使用的Horner嵌套算法啊,见"Horner嵌套算法". 1. 单项式(Monomial)基插值 1)插值函数基 单项式基插值采用的函数基是最简单的单项式:$$\phi_j(t)=t^{j-1}, j=1,2,...n;\quad f(t)=p_{n-1}(t)=x_1+x_2t+x_3t^2+...x_n…

模板题. 拉格朗日插值的精髓在于这个公式 $$f(x) = \sum_{i = 1}^{n}y_i\prod _{j \neq i}\frac{x - x_i}{x_j - x_i}$$ 其中$(x_i, y_i)$是给定的$n$个点值. 代入任何一个给定的点值坐标$x_k$,都会发现这个式子等于$y_k$成立,因为对于任何$i \neq k$,后面的系数都至少有一项为$0$,而当$i == k$的时候,后面那一项一定为$1$,这样子就可以保证代进去的点值一定被满足. 因为题目中要求直接代入$x…

1. 已知函数在下列各点的值为   0.2 0.4 0.6 0.8 1.0   0.98 0.92 0.81 0.64 0.38 用插值法对数据进行拟合,要求给出Lagrange插值多项式和Newton插值多项式的表达式,并计算插值多项式在点的值. 程序: x=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0]; y=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38]; x0=[0.2 0.28 0.44 0.76 1 1.08]; [f,f0]=Lagrange(x,y,x0) function […

设代数式序列 $q_1(t), q_2(t), ..., q_{n-1}(t)$ ,由它们生成的多项式形式的表达式(不一定是多项式): $$p(t)=x_1+x_2q_1(t)+...x_nq_1(t)q_2(t)..q_{n-1}(t)=\sum\limits_{i=1}^n(x_i\prod\limits_{j=1}^{i-1}q_j(t))$$ 一般来讲,按照这个形式计算函数在 $t_0$ 点的取值的复杂度为:n-1次 $q_i(t)$ 求值,n-1次浮点数乘法(生成n个不同的乘积),n-…

插值问题描述:已知一个函数上的若干点,但函数具体表达式未知,现在要利用已知的若干点求在其他点处的函数值,这个过程就是插值的过程. 1.一维插值 一维插值就是给出y=f(x)上的点(x1,y1),(x2,y2),-,(xn,yn),由此求出y=f(x)在点xa处的值ya的值. 实现一维插值使用interp1命令,使用参数为interp1(x,y,xa,'method') ,其中x和y是已知点对应横纵坐标,xa为代求值的横坐标,method参数代表插值类型,参数可以选择的选项如下表,若缺省则为lin…

mybatis插值,数据提交事务回滚数据库值为空 通过sql日志查看sql为:INSERT INTO `quanxian`.`user` ( phone, email, password, times, name, age, address, sex, hobby, work ) VALUES (phone, email, password, times, name, age, address, sex, hobby, work ); 1.0 初步怀疑是入参类型不对,于是检查类型:<insert…

PTA 6-2 多项式求值 本题要求实现一个函数 本题要求实现一个函数,计算阶数为n,系数为a[0] ... a[n]的多项式f(x)=∑i=0n(a[i]×xi)" role="presentation">f(x)=∑ni=0(a[i]×xi)f(x)=∑i=0n(a[i]×xi)在x点的值. 函数接口定义 double f( int n, double a[], double x ); 其中n是多项式的阶数,a[]中存储系数,x是给定点.函数须返回多项式f(x)的值…

# 多项式求值(Horner规则) # 输入:A[a0,a1,a2...an],x的值 # 输出:给定的x下多项式的值p   # Horner迭代形式实现 1 # 在此修改初值 2 A = [2, 6, 15, -5, 34] 3 x = 2 4 # 主程序 5 p = A[-1] # 将索引指定为 -1 ,可让 Python 返回最后一个列表元素 6 for i in range(1,len(A)): 7 p = p*x + A[-1-i] 8 print('迭代法,该多项式的值为:',p)…

嘟嘟嘟 本来以为拉格朗日插值是一个很复杂的东西,今天学了一下才知道就是一个公式-- 我们都知道\(n\)个点\((x_i, y_i)\)可以确定唯一一个最高次为\(n - 1\)的多项式,那么现在我们已知这\(n\)个点,求这个多项式代入\(k\)时的值. 首先都能想到用高斯消元\(O(n ^3)\)求出多项式,然后代入\(k\). 但是这样有点慢,于是拉格朗日就找到了一种\(O(n ^2)\)的方法. 他不知怎么的想出了这么一个式子: \[f(k) = \sum_{i = 0} ^{n}{y_…

洛谷传送门 板题-注意一下求多个数的乘积的逆元不要一个个快速幂求逆元,那样很慢,时间复杂度就是O(n2log)O(n^2log)O(n2log).直接先乘起来最后求一次逆元就行了.时间复杂度为O(nlog+n2)=O(n2)O(nlog+n^2)=O(n^2)O(nlog+n2)=O(n2) 这样的拉格朗日插值是预处理O(n2)O(n^2)O(n2),插入O(n)O(n)O(n),查询O(n)O(n)O(n)的.使用的前提是可以求逆元. CODE #include<cstdio> #inclu…

#include<iostream> using namespace std; template<class T> T ploy(T *coeff,int n,const T&x){ T value=coeff[n]; ;i<=n;i++) value=value*x+coeff[i-];//你麻痹 return value; } int main() { int n,x; cin>>n>>x; ]; ;i--) cin>>a[i]…

http://blog.miskcoo.com/2015/05/polynomial-division 好神啊! 通过翻转多项式消除余数的影响,主要原理是商只与次数不小于m的项有关. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std…

时间限制: 400ms 内存限制: 64MB 代码长度限制: 16KB 函数接口定义: double f( int n, double a[], double x ); 其中n是多项式的阶数,a[]中存储系数,x是给定点.函数须返回多项式f(x)的值. 裁判测试程序样例: #include <stdio.h> #define MAXN 10 double f( int n, double a[], double x ); int main() { int n, i; double a[MAXN…

题意:求多项式的逆 题解:多项式最高次项叫度deg,假设我们对于多项式\(A(x)*B(x)\equiv 1\),已知A,求B 假设度为n-1,\(A(x)*B(x)\equiv 1(mod x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil})\),\(A(x)*B'(x)\equiv 1(mod x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil})\) 两式相减得\(B(x)-B'(x)\equiv 0(mod x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil})\),…

题目链接 设多项式\(f(x)\)在模\(x^n\)下的逆元为\(g(x)\) \[f(x)g(x)\equiv 1\ (mod\ x^n)\] \[f(x)g(x)-1\equiv 0\ (mod\ x^n)\] \[f^2(x)g^2(x)-2f(x)g(x)+1\equiv 0\ (mod\ x^{2n})\] \[2f(x)g(x)-f^2(x)g^2(x)\equiv 1\ (mod\ x^{2n})\] \[2f(x)g(x)-f^2(x)g^2(x)\equiv f(x)g'(x)…

本题要求实现一个函数,计算阶数为n,系数为a[0] ... a[n]的多项式f(x)=∑​i=0​n​​(a[i]×x​i​​) 在x点的值. 函数接口定义: double f( int n, double a[], double x ); 其中n是多项式的阶数,a[]中存储系数,x是给定点.函数须返回多项式f(x)的值. 裁判测试程序样例: #include <stdio.h> #define MAXN 10 double f( int n, double a[], double x );…

出处0.0用到第二类斯特林数的性质,做法好像很多,我打的是直接ntt,由第二类斯特林数的容斥公式可以推出,我们可以对于每一个i,来一次ntt求出他与所有j组成的第二类斯特林数的值,这个时候我们是O(n^2logn)的,还不如暴力,但是我们发现,对于刚刚提到的容斥的式子,将其化为卷积形式后,其一边的每一项对于每一个i都相同,另一边的每一项是对于所有的i形成一个n项的等比数列,这样我们可以把成等比数列的一边求和,用固定的一边去卷他们的和,这时候的答案的每一项就是所有的i的这一项的和,然后我们再O(n…

题目大意:$FFT$,给你两个多项式,请输出乘起来后的多项式. 题解:$FFT$,由于给的$n$不是很大,也可以用$NTT$做 卡点:无 C++ Code:  FFT: #include <cstdio> #include <cmath> using namespace std; const double Pi = acos(-1); int n, m; struct complex { double r, i; complex (double a = 0, double b =…

Code: #include <bits/stdc++.h> #define N 1000010 #define mod 998244353 #define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) using namespace std; namespace NTT { int a[N],b[N],f[N],g[N]; int qpow(int x,int y) { int tmp = 1; while(y) { if(y&…

点我进入原题Luogu P1981 [解题思路] 仔细分析题目,这就是一道模拟题…… 直接按照符号读入全部的数字,先算乘法,最后把全部数加起来就是结果了 记得要%10000取最后四位 [参考程序] #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> using namespace std; string st; int n,num[100005],p[100005],ans; int main() { cin>…

Huffman分治的NTT,常数一般.使用的时候把多项式的系数们放进vector里面,然后调用solve就可以得到它们的乘积.注意这里默认最大长度是1e6,可能需要改变. #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; int a[200005], b[200005], btop; const int MAXN = 1e6, MAXLOGN = 20, mod = 998244353; int add_mod…

https://www.cnblogs.com/HocRiser/p/8207295.html 安利! 写NTT把i<<=1写成了i<<=2,又调了一年.发现我的日常就是数组开小调调调,变量名写错调调调,反向判if调调调,退役吧. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<cstring> #include&…

题目链接 这个……学了一条定理 最小路径覆盖=原图总点数-对应二分图最大匹配数 这个对应二分图……是什么呢? 就是这样 这是原图 这是拆点之后对应的二分图. 然后咱们的目标就是从这张图上跑出个最大流来,然后用原图的总点数减去就是答案. 至于记录路径……我发现有一个规律是可以在Dinic跑DFS的时候记. 别的我不知道了.因为我只会Dinic. 代码如下. #include<cstdio> #include<cstring> #include<cctype> #inclu…

代码: #include "stdafx.h" int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]) { float x; do{ printf("Enter x:"); scanf("%f",&x); float value=((((*x+)*x-)*x-)*x+)*x-; printf("value=:$%1.2f\n",value); }while(x!=); return ; } 输出: E…