[复习]莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛 莫比乌斯反演 做题的时候的常用形式: \[\begin{aligned}g(n)&=\sum_{n|d}f(d)\\f(n)&=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})g(d)\end{aligned}\] 实际上还有 \[\begin{aligned}g(n)&=\sum_{d|n}f(d)\\f(n)&=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})g(d)\end{aligned}\] 证明可以看看这里,…

洲阁筛 给定一个积性函数$F(n)$,求$\sum_{i = 1}^{n}F(n)$.并且$F(n)$满足在素数和素数次幂的时候易于计算. 显然有: $\sum_{i = 1}^{n} F(n) = \sum_{i = 1}^{\sqrt{n}}F(i) \left(\sum_{\sqrt{n} < p\leqslant n/i, p\ is\ a\ prime} F(p) \right) + \sum_{i = 1, i\ has\ no\ prime\ factor\ greater\ th…

题目大意: 给定\(n\le 10^9\),求: 1.\(\sum_{i=1}^n\mu(i^2)\) 2.\(\sum_{i=1}^n\varphi(i^2)\) 解释 1.\(\sum_{i=1}^n\mu(i^2)\) 直接输出1 因为对于\(\forall i>1\)有\(\mu (i^2)=0\) 2.\(\sum_{i=1}^n\varphi(i^2)\) for 杜教筛: 构造函数\(f(i)=\varphi(i^2)\),则有\(f*\mathrm{id}=id^2\),具体推导…

杜教筛 适用条件 你要能构造出\(g(x),h(x)\),使得\(h=f*g\). \(G(x),H(x)\)的值可以快速计算. 过程 我们要求的是\(F(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)\),现在有\(h=f*g\),\(G(x),H(x)\)分别为\(g(x),h(x)\)的前缀和. \[ \begin{aligned} H(n)=&\sum_{i=1}^{n}h(i)\\ =&\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}f(\frac{i}{d})g(d)\\ =&am…

题目大意 有 \(n\) 个整数 \(a_1,a_2,\ldots,a_n\),每个数的范围是 \([1,m]\).还有 \(k\) 个限制,每个限制 \(x_i,y_i\) 表示 \(a_{x_i}\leq a_{y_i}\). 问有多少种不同的情况,以及所有情况中 \({\sigma_0(\gcd(a_1,a_2,\ldots,a_n))}^3\) 的和. \(n\leq 20,m\leq {10}^{10}\) 题解 记 \(f(x)\) 为当 \(m=x\) 时第一问的答案. 记 \(g…

目录 1.什么是min_25筛 2.前置知识 2.1.数论函数 2.2.埃拉托色尼筛 2.3.欧拉筛 3.min_25筛 3.1.计算质数贡献 3.2.计算总贡献 3.3.实现 4.例题 4.1.[LOJ]区间素数个数 4.2.[LG P4213]杜教筛 1.什么是min_25筛          min_25 筛和洲阁筛.杜教筛一样,是一种低于线性的用于求积性函数前缀和的筛法.常用 min_25 筛的时间复杂度为\(O(\frac{n^{\frac34}}{\log n})\),而经过优化可以…

题目描述 记\(sgcd(i,j)\)为\(i,j\)的次大公约数. 给你\(n\),求 \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{sgcd(i,j)}^k \] 对\(2^{32}\)取模. \(n\leq {10}^9,k\leq 50\) 题解 记\(f(n)\)为\(n\)的次大因数 显然\(sgcd(i,j)=f(gcd(i,j))\) 先推一波式子. \[ \begin{align} &\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{sgcd(i,j)}^k\\ =&a…

link \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\mathrm{sgcd}(i,j)^k=\sum_{p=1}^ns(p)^k\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[\gcd(i,j)=p]=\sum_{p=1}^ns(p)^k(-1+2\sum_{i=1}^{n/p}\varphi(i))\) 由于 \(n\) 的范围是 \(10^9\) ,对于后面的我们最多只有根号种取值,根据套路,可以杜教筛/Min_25筛一波. 至于前面的东西,我们可以考虑Min_25筛的过程:…

前言 由于HTTP 1自身的局限性,它不能很好的为用户提供性能良好的WEB服务.于1999年6月正式发布了HTTP1.1标准REC2616,它厘清了之前版本中很多有歧义的地方,而且还新增了很多重要的优化,如持久连接.分块编码传输.状态码扩充.增强的缓存机制.传输编码及请求管道等.本文是个人在学习<WEB性能权威指南>后,又查阅了一些文档资料写的一篇随笔,仅供参考和个人以后查阅.下面将对比http1.0讲述一些在新版本中的重要改进.(本文最初发布于公司内网,外网原文地址:腾云阁--HTTP 1.…

这儿只是一个简单说明/概括/总结. 原理见这: https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/9185093.html https://www.cnblogs.com/zhoushuyu/p/9187319.html 首先计算\[g(n,j)=\sum_if(i),\quad i是质数\ 或\ i的最小质因子严格大于P_j\\g(n,j)=\begin{cases}g(n,j-1)&P_j^2\gt n\\ g(n,j-1)-f(P_j)\left[g(\frac{n}{P_j…