link \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\mathrm{sgcd}(i,j)^k=\sum_{p=1}^ns(p)^k\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[\gcd(i,j)=p]=\sum_{p=1}^ns(p)^k(-1+2\sum_{i=1}^{n/p}\varphi(i))\) 由于 \(n\) 的范围是 \(10^9\) ,对于后面的我们最多只有根号种取值,根据套路,可以杜教筛/Min_25筛一波. 至于前面的东西,我们可以考虑Min_25筛的过程:…

题目描述 记\(sgcd(i,j)\)为\(i,j\)的次大公约数. 给你\(n\),求 \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{sgcd(i,j)}^k \] 对\(2^{32}\)取模. \(n\leq {10}^9,k\leq 50\) 题解 记\(f(n)\)为\(n\)的次大因数 显然\(sgcd(i,j)=f(gcd(i,j))\) 先推一波式子. \[ \begin{align} &\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{sgcd(i,j)}^k\\ =&a…

题目描述 给你\(n\),求 \[ \prod_{i=1}^n{\sigma_0(i)}^{i+\mu(i)} \] 对\({10}^{12}+39\)取模. \(\sigma_0(i)\)表示约数个数. 题解 把式子拆成两部分: \[ \prod_{i=1}^n{\sigma_0(i)}^{i+\mu(i)}=\prod_{i=1}^n{\sigma_0(i)}^{i}\prod_{i=1}^n{\sigma_0(i)}^{\mu(i)} \] 先看前面这部分 \[ \begin{align}…

题目:http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1965 考虑 \( \prod_{i=1}^{n}\sigma_0^i \) \(=\prod_{j=1}^{p_j<=n}\prod_{t=1}^{p_j^t<=n}(t+1)^{ p_j^tS(\left\lfloor\frac{n}{p_j^t}\right\rfloor) - p_j^{t+1}S(\left\lfloor\frac{n}{p_j^{t+1}}\rig…

description 51nod 求\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}sgcd(i,j)^k\]其中\(sgcd(i,j)\)表示\(i,j\)的次大公约数,如果\(gcd(i,j)=1\)那么\(sgcd(i,j)=0\). solution 记答案为\(Ans\). 首先考虑直接枚举\(sgcd(i,j)\). \[Ans=\sum_{d=1}^{n}\xi^k(d)\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^n[gcd(i,j)==d]\] 其中当\(n\…

题目:http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1965 推式子就同这里:https://www.cnblogs.com/yoyoball/p/9196092.html 一开始想设 \( g(n,j) = \sum\limits_{i=1}^{n} [ min(i) >= p_{j} ] f(i) \),其中 \( f(i) = d(i)  \mu(i) \) 或 \( f(i) = mu(i) \),\( d(i) \) 是…

[51NOD 1847]奇怪的数学题(莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛,第二类斯特林数) 题面 51NOD \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nsgcd(i,j)^k\] 其中\(sgcd\)表示次大公约数. 题解 明摆着\(sgcd\)就是在\(gcd\)的基础上除掉\(gcd\)的最小因数. 所以直接枚举\(gcd\). \[\begin{aligned} ans&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n sgcd(i,j)^k\\ &=\sum_{i=1…

题目链接 http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1965 题解 需要求的式子显然是个二合一形式,我们将其拆开,分别计算 \(\prod_\limits{i = 1}^n \sigma_0(i)^i\) 与 \(\prod_\limits{i = 1}^n \sigma_0(i)^{\mu(i)}\),再将两部分乘起来得到答案. 对于第一部分 \(\prod_\limits{i = 1}^n \sigma_0(i)^i\):…

[ 51nod 1847 ]奇怪的数学题 题目   点这里看题目. 分析   是挺奇怪的......   以下定义质数集合为\(P\),\(p_i\)为第\(i\)个质数.   定义\(mp(x)\)为\(x\)的最小质因子,则可以得到: \[sgcd(a,b)=\frac{\gcd(a,b)}{mp(\gcd(a,b))} \]   这个比较显然.然后可以娴熟地变换式子得到: \[\begin{aligned}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n sgcd(i,j)^k&=\sum…

[复习]莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛 莫比乌斯反演 做题的时候的常用形式: \[\begin{aligned}g(n)&=\sum_{n|d}f(d)\\f(n)&=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})g(d)\end{aligned}\] 实际上还有 \[\begin{aligned}g(n)&=\sum_{d|n}f(d)\\f(n)&=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})g(d)\end{aligned}\] 证明可以看看这里,…