简单积性函数 在学习欧拉函数的时候,相信读者对积性函数的概念已经有了一定的了解.接下来,我们将相信介绍几种简单的积性函数,以备\(dirichlet\)卷积的运用. 定义 数论函数:在数论上,对于定义域为正整数,值域为复数的函数,我们称之为数论函数. 积性函数:对于数论函数\(f\),若满足\(gcd(a,b)=1\)时,有\(f(ab)=f(a)f(b)\),则称函数\(f\)为积性函数 简单积性函数 约数个数函数 \[\tau(n)=\sum_{k|n}1\] 约数和函数 \[\sigma(…

转载自https://oi-wiki.org/math/mobius/ 积性函数 定义 若 $gcd(x,y)=1$ 且 $f(xy)=f(x)f(y)$,则 $f(n)$ 为积性函数. 性质 若 $f(x)$ 和 $f(y)$ 均为积性函数,则以下函数为积性函数: $h(x) = f(x^p)$ $h(x) = f^p(x)$ $h(x) = g(x)f(x)$ $h(x) = \sum_{d|x} f(d)g(\frac{x}{d})$ 后面两条性质非常重要,会经常用.它说明了两个积性函数的…

链接 codeforces 题解 结论:\(f_0(n)=2^{n的质因子个数}\)= 根据性质可知\(f_0()\)是一个积性函数 对于\(f_{r+1}()\)化一下式子 对于 \[f_{r+1} = \sum_{d|n}f_r(d)\] \(f_r+1\)可以看做\(f_r()\)和\(g(d)\)的狄利克雷卷积因为\(f_0()\)是积性函数,\(g(d)\)也是积性函数,由卷积性质得\(f_{r+1}()\)也是积性函数,那么\(f_r\)同理 对于\(n\)质因数分解得到: \[n=…

题目链接 http://acm.hdu.edu.cn/downloads/CCPC2018-Hangzhou-ProblemSet.pdf B题 数论题      h(n)=∑ d|n φ(d) × n /d   求一个数的h值   我们只要意识到他是一个积性函数就解决了  这个函数看起来很像狄利克雷卷积 我们构造一个函数f(n)=n;h(n)=∑ d|n φ(d) × f(n /d) 欧拉函数φ是积性函数 构造的f是完全积性函数 所以他们的狄利克雷卷积h也是积性函数  然后推导一下答案就是 ∑…

只会搬运YL巨巨的博客 积性函数 定义 积性函数:对于任意互质的整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数. 完全积性函数:对于任意整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数 性质 两个积性函数的狄利克雷卷积仍为积性函数. 若积性函数满足 \(f(n^p)=f^p(n)\)则它一定是完全积性函数.因为一个数可以唯一分解,则它一定可以表示成质数相乘的形式:因为他时积性函数所以,\(f(\prod_{i=1}^{n}p_i)=\prod _{i=1}^{n}f(p_i)\),…

http://codeforces.com/contest/757/problem/E 题意 Sol 非常骚的一道题 首先把给的式子化一下,设$u = d$,那么$v = n / d$ $$f_r(n) = \sum_{d \mid n} \frac{f_{r - 1}(d) + f_{r - 1}(\frac{n}{d})}{2}$$ $$= \sum_{d\mid n} f_{r - 1}(d)$$ 很显然,这是$f_r(n)$与$1$的狄利克雷卷积 根据归纳法可以证明$f_r(n)$为积性…

Möbius函数 定义 设正整数\(n\)算数基本定理分解后为\(n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{a_i}\),定义函数 \[ \mu(n)= \begin{cases} 0\ \ (\exists\ i\in[1,k],a_i>1) \\(-1)^k\ \ (\forall\ i\in[1,k],a_i=1) \end{cases} \] 称\(\mu(n)\)为\(Möbius\)函数. 即分解质因数后,若\(n\)有多个相同的质因子,则\(\mu(n)=0\).当\(n\)的的…

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6265 题目大意:首先T是测试组数,n代表当前这个数的因子的种类,然后接下来的p和q,代表当前这个数的因子中含有p的q次方.然后让你求题目第一行给你的信息. 首先理一下思路. 第一步,我们需要算题目中要求的公式(第一行),首先,他是一个积性函数,所以我们先将题目中的第一行的式子命名为F(n).对于F(n),我们可以分着求他的每一个因子的解,然后最终将这一写乘起来就可以了. F(n) = F(p1^q1…

Dirichlet 卷积学习笔记 数论函数:数论函数亦称算术函数,一类重要的函数,指定义在正整数集上的实值或复值函数,更一般地,也可把数论函数看做是某一整数集上定义的函数. 然而百科在说什么鬼知道呢,感性理解一下,数论函数的定义域是正整数,值域也是正整数. 数论函数的相关运算与性质 设有数论函数\(\bf{h,f,g}\). 加法运算 \((\mathbf {f}+\mathbf {g})(n)=\mathbf {f}(n)+\mathbf {g}(n)\) 即每项相加 数乘运算 \((x\ma…

Dirichlet 卷积是两个定义域在正整数上的函数的如下运算,符号为 $*$ $(f * g)(n) = \sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$ 如果不强调 $n$ 可简写为 $f * g$ 常用: $\mu * 1 = \epsilon$ $\phi * 1 = id$ $\epsilon(n) = [n=1]$ $id(n)=n$ Mobius 反演是基于 Dirichlet 卷积的一种....化简式子的方法? 比较有用的结论就是 $\mu * 1 = [n=1]$ 由…